Disequazione logaritmica

@Paolo1999

La funzione ln(x) risulta essere minore o uguale a zero se l'argomento è compreso nell'intervallo 0 < x <= 1.

Nell'insieme di definizione della funzione data, ossia 0 =< x <= 1, l'argomento della funzione logaritmo (1 - radice (x - x²)) è minore o uguale ad 1.

Abbiamo quindi a primo membro una quantità minore o uguale a zero. Poiché la condizione di esistenza richiede x€ [0,1] , il secondo membro è sicuramente positivo o nullo.

La disequazione è verificata in senso stretto se: 0 < x <=1

Per la condizione di esistenza

x - x^2 >= 0 => x^2 - x <= 0 => 0 <= x <= 1 1 - rad(x - x^2) > 0 => rad (x - x^2) < 1

ovvero x - x^2 < 1

x^2 - x + 1 > 0 sempre verificata

Passando agli esponenziali di base e

1 - rad(x - x^2) < e^x

1 - e^x < rad(x - x^2)

rad (x - x^2) > 1 - e^x

e questa disequazione trascendente può essere affrontata solo

per via grafica

https://www.desmos.com/calculator/1zabeh7nvr

verificata per 0 < x <= 1

Suppongo che la elle maiuscola di "Log" sia solo un errore di composizione e che l'autore dell'esercizio non intendesse affatto la funzione olomorfa che ha scritto, soprattutto in una disequazione con diseguaglianza d'ordine: cosa che, non essendo i complessi ordinabili, richiede che ambo i membri siano reali.
Supponendo inoltre che in assenza di base esplicita s'intenda logaritmo naturale, riscrivo e risolvo come segue.
* ln(1 - √(x - x^2)) < x ≡
≡ (e^ln(1 - √(x - x^2)) < e^x) & (1 - √(x - x^2) > 0) ≡
≡ (1 - √(x - x^2) < e^x) & (0 <= x <= 1) ≡
≡ 0 < x <= 1

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AGGIUNTA (dopo aver visto la risposta "non ci sono soluzioni reali" @EidosM )
Per x = 0, 1 - √(0 - 0^2) < e^0 è falso.
Per x = 1, 1 - √(1 - 1^2) < e^1 è vero.
Per x > 1, 1 - √(1 - 1^2) è complesso.
Per 0 < x <= 1, 1 - √(x - x^2) < e^x è vero.