Disequazione irrazionale n. 823

Condizione di esistenza del radicale quadratico a sinistra : x + 1 >= 0 => x >= -1

Per la convenzione sui radicali l'espressione di sinistra é positiva nel suo campo di

esistenza --- deve quindi essere anche rad_3 (x - 1) > 0 => x - 1 > 0 => x > 1.

Cercheremo quindi le soluzioni in ]1, +oo[ in cui entrambi i radicali sono positivi.

Elevare alla sesta potenza ( 6 = mcm(2,3) ) porterà quindi ad una disequazione

1) equivalente 2) equiversa 3) libera da radicali

che assume la forma polinomiale

(x + 1)^3 < (x - 1)^2

x^3 + 3x^2 + 3x + 1 < x^2 - 2x + 1

e quindi

x^3 + 3x^2 - x^2 + 3x + 2x + 1 - 1 < 0 con x > 1.

Riducendo si ha poi

x^3 + 2x^2 + 5x < 0

x(x^2 + 2x + 1 + 4) < 0

Se x é maggiore di 1 é positivo quindi dividendo per x non cambia il senso

(x + 1)^2 + 2^2 < 0

e questa é impossibile perché in R la somma di due quadrati non può assumere

valori negativi.

Conclusione : S = {}

Osservazione
La disequazione 823
* √(x + 1) < ∛(x - 1)
ha una diseguaglianza d'ordine stretto, quindi è definita se e solo se ambo i membri hanno valori reali; cioè: per x >= - 1 si ha √(x + 1) >= 0, il che implica ∛(x - 1) > 0 ≡ x > 1.
Risoluzione
* (√(x + 1) < ∛(x - 1)) & (x > 1) ≡
≡ ((x + 1) < ∛(x - 1)^2) & (x > 1) ≡
≡ ((x + 1)^3 < (x - 1)^2) & (x > 1) ≡
≡ ((x + 1)^3 - (x - 1)^2 < 0) & (x > 1) ≡
≡ (x*(x^2 + 2*x + 5) < 0) & (x > 1) ≡
≡ (x < 0) & (x > 1) ≡
≡ ∄ x ∈ R
che è proprio il risultato atteso.