[Risolto] Disequazione irrazionale n. 783

Il risultato dell’ultimo sistema, X=0 X>=3, deve essere SEMPRE contenuto nel CE (x>=0)

\[(\sqrt{3x} + 1)^2 \leq (\sqrt{5x + 1})^2 \implies 3x + 1 + 2\sqrt{3x} \leq 5x + 1 \iff \sqrt{3x} \leq x \iff\]

\[3x \leq x^2 \iff x^2 - 3x \geq 0 \implies x(x - 3) \geq 0 \iff x \leq 0 \lor x \geq 3 \mid \mathcal{D}(f) : x \geq 0 \implies\]

\[ x(x - 3) \geq 0 \iff x = 0 \lor x \geq 3\,.\]

rad(3x) + 1 <= rad(5x + 1)

C.E. 3x >= 0 & 5x + 1 >= 0 => x >= 0

Ora a sinistra e a destra ci sono quantità non negative

passando ai quadrati si ha pertanto una disequazione equivalente

equiversa e con una sola radice

3x + 1 + 2 rad(3x) <= 5x + 1

che in forma normale diventa

2 rad(3x) <= 2x

avendo ridotto i simili ed eliminato gli opposti

rad(3x) <= x con x >= 0

Quadrando ancora

3x <= x^2

x^2 - 3x >= 0

x(x - 3) >= 0

{ x <= 0 V x >= 3 (intervalli esterni)

{ x >= 0 ( risultato delle C.E. )

Prendendo infine l'intersezione

x = 0 V x >= 3

Tu scrivi "Buona serata" nove minuti dopo mezzanotte; io vedo la domanda verso le undici e non ho idea di che cosa risponderti! Fai da te e io sottoscrivo al buio fin d'ora.
Penso di sì che mi sia possibile dare la spiegazione di ciascun passaggio nella mia procedura di risoluzione della disequazione irrazionale n. 783
* √(3*x) + 1 <= √(5*x + 1)
Passaggio #1: sdoppiare la diseguaglianza lasca perché quella stretta necessita della condizione restrittiva di realtà su ambo i membri, mentre l'eguaglianza no.
* √(3*x) è reale per x >= 0
* √(5*x + 1) è reale per x >= - 1/5
* √(3*x) + 1 <= √(5*x + 1) ≡
≡ (√(3*x) + 1 = √(5*x + 1)) oppure (√(3*x) + 1 < √(5*x + 1)) & (x >= 0)
Passaggio #2: osservare che, per la convenzione sui radicali e la presenza di sole addizioni, quadrare membro a membro non influisce sulla disequazione e può introdurre spurie —da escludere alla fine— nell'equazione.
* (√(3*x) + 1 = √(5*x + 1)) oppure (√(3*x) + 1 < √(5*x + 1)) & (x >= 0) ≡
≡ (3*x + 1 + 2*√(3*x) = 5*x + 1) oppure (3*x + 1 + 2*√(3*x) < 5*x + 1) & (x >= 0) ≡
≡ (√(3*x) = x) oppure (√(3*x) < x) & (x >= 0) ≡
≡ (3*x = x^2) oppure (3*x < x^2) & (x >= 0) ≡
≡ (x^2 - 3*x = 0) oppure (x^2 - 3*x > 0) & (x >= 0)
Passaggio #3: risolvere separatamente l'equazione e il sistema di disequazioni.
* (x^2 - 3*x = 0) oppure (x^2 - 3*x > 0) & (x >= 0) ≡
≡ ((x = 0) oppure (x = 3)) oppure (x > 3)
Passaggio #4: comporre ed esibire la soluzione.
* √(3*x) + 1 <= √(5*x + 1) ≡ (x = 0) oppure (x >= 3)
Passaggio #5: verificare con altri mezzi.
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%E2%88%9A%283*x%29--1%3C%3D%E2%88%9A%285*x--1%29for+x+real