[Risolto] Applicazioni lineari - Algebra lineare

Andando in ordine per colonna:

$1)$

Una trasformazione lineare da $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2$ è suriettiva se la sua immagine coincide con il codominio; poiché 

\[A \in M_{2,3}(\mathbb{R}) = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 1 & c & d \end{pmatrix} \quad \text{tale che}\]

\[\text{rk}(A) = 2\,,\]

allora i vettori colonna sono linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^2\,$; ergo è suriettiva e l'affermazione è falsa.

Per trovare il nucleo di $L\,$, si deve risolvere $L(\mathbf{x}) = 0,$:

\[L(\mathbf{x}) \:\Bigg| \: \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \implies\]

\[L \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + ay + bz \\ x + cy + dz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Allora

\[\begin{cases}
x + ay + bz = 0 \\
x + cy + dz = 0 
\end{cases} \implies (a - c)y + (b - d)z = 0\,.\]

Per avere una sola soluzione non banale $(\dim_{\mathbb{R}}{\ker{L}} = 1)\,$, i coefficienti di $y$ e $z$ devono essere tali che le variabili non siano indipendenti. Dato che $a$ e $b$ non sono specificati in modo che $(a - c)$ e $(b - d)$ siano zero simultaneamente:

\[\ker{L} \neq \text{span}{\left\{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}}\]

$\dim{\ker{L}} \neq 2\,$ in quanto $L\,$, essendo una mappa da $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2\,$, per il Teorema del Rango:

\[\dim_{\mathbb{R}}{(\ker{L})} + \dim_{\mathbb{R}}{(\ker{\operatorname{Im}{L}})} = 3 \mid \dim_{\mathbb{R}}{(\ker{\operatorname{Im}{L}})} = 2 \implies\]

\[\dim{(\ker{L})} = 1 \neq 2\,.\]

La quinta affermazione è vera in quanto:

\[L \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - a - b\\ 1 - c - d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Poiché $a + b = 1$ e $c + d = 1\,$:

\[\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \in \ker{L}\,.\]

Poiché

\[\operatorname{Im}{L} = \mathbb{R}^2 \implies \forall \,V \underset{\mathbb{R}}{\leq} \operatorname{span}{\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}} \quad \text{tale che}\]

\[\dim_{\mathbb{R}}{V} = 1 \implies V \supset \operatorname{Im}{L}\,.\]

Quindi è vera.

Tale trasformazione lineare è iniettiva se il suo nucleo contiene solamente il vettore banale. Poiché

\[\dim_{\mathbb{R}}{\ker{L}} = 1\,,\]

e mappando da $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2\,$, si deduce che c'è una relazione di linearità che esclude l'iniettività. Quindi falsa.

Dato che $L$ mappa vettori specifici di $\mathbb{R}^3$ su combinazioni lineari di $\mathbb{R}^2\,$, non tutte le immagini hanno necessariamente contro-immagine. Quindi falsa.

Il secondo esercizio prova a farlo te. Se hai dubbi, apri una nuova domanda