[Risolto] Disequazione Goniometrica Fratta

Per prima cosa devi definire il campo di esistenza, ovvero escludere tutti gli x per cui $sinx=0$ e $sin(x/2)=0$. Quindi x diverso da $k\pi$

Adesso per comodità sostituisci $x/2=t$ e siccome al denominatore hai soltanto quadrati, puoi moltiplicare a destra e sinistra per loro stessi senza cambiare verso alla disequazione, in modo che mandi via il fatto di essere una disequazione fratta:

$sin^2(2t)<3sin^2t$

adesso ti devi ricordare le formule di duplicazione, ovvero che $sin(2t)=2sin(t)cos(t)$

Quindi $sin^2(2t)=4sin^2(t)cos^2(t)$

La disequazione diventa:

$4sin^2(t)cos^2(t)<3sin^2t$

Semplifica un $sin^2t$ (lo puoi fare in quanto hai specificato il campo di esistenza e quindi $sin(t)$ non può essere =0)

$4cos^2(t)<3$  -->$cos^2(t)<3/4$

e quindi $cos(t)<\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $cos(t)>-\frac{\sqrt{3}}{2}$

e quindi $\frac{\pi}{6}+k\pi < t < \frac{5\pi}{6}+k\pi$

Lascio a te come esercizio l'ultimo passaggio per tornare da $t$ a $x$ 🙂

Certo che puoi portarla nella forma

$\frac{3sin^2t}{sin^22t}>1$

ma perchè complicarsi la vita? quando ero ragazzo ai miei tempi si diceva "UCAS" ovvero Ufficio Complicazioni Affari Semplici 🙂

A questo punto devi comunque semplificare il $sin^22t$ come giÀ ti ho fatto vedere e alla fine ti ritrovi con la solita disequazione in $cos^2t$.