[Risolto] Disequazione Goniometrica Fratta

Ciao. in realtà devi studiare il segno sia del Num che del Den, in quanto vanno bene sia la combinazione Num>0 e Den>0, che la combinazione Num<0 e Den<0.

Per prima cosa escludi gli zeri del denominatore dal campo di esistenza:

$x\neq\frac{3\pi}{4}+2k\pi$  e $x\neq\frac{5\pi}{4}+2k\pi$

Comunque:

$\sqrt{2}sinx-1>0$ porta a $sinx>\frac{1}{\sqrt{2}}$

quindi $\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi$

Analogamente per il denominatore:

$\sqrt{2}cosx+1>0$ porta a $cosx>-\frac{1}{\sqrt{2}}$

che ha come soluzioni:

$-\frac{3\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi$

adesso il problema è combinare le soluzioni:

il caso Num>0 e Den>0 è semplice, basta trovare l'intersezione dei due insiemi sopra riportati, quindi:

$\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi$

Per il caso Num<0 e Den<0 va fatta l'intersezione degli insiemi complementari, quindi esce:

$\frac{3\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi$

La soluzione finale è :

$\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi$ U $\frac{3\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi$