DISEQUAZIONE GONIOMETRICA FACILE

@very

Ciao e benvenuta.

COS(x)^2 - SIN(x)^2 + 2 > 3·COS(x)

equivale a:

2·COS(x)^2 + 1 > 3·COS(x)-------> posto COS(x) = w---> 2·w^2 - 3·w + 1 > 0

che risolta fornisce:

w < 1/2 ∨ w > 1 , cioè: -1 < COS(x) < 1/2  (tieni presenti le limitazioni sul seno)

Quindi si passa alla circonferenza goniometrica : X^2+Y^2=1 e risolvo:

-1 < COS(α) < 1/2) -------> pi/3+2k*pi <α < 5pi/3+2kpi

FACILE o DIFFICILE sono giudizi soggettivi, non dati oggettivi.
Le cose sono facili solo se le sai fare con sicurezza, alla svelta e senza commettere errori; se tu scrivi "avrei bisogno della risoluzione" vuol dire che qualcosa di queste tre t'è venuta meno, quindi non dovresti giudicare "facile" un esercizio che (per la TUA soggettività) facile non è. Rischi di indisporre chi ti legge e di sentirti rispondere "se sai che è facile, svolgitelo da te!".
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A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* cos^2(x) - sin^2(x) + 2 > 3*cos(x) ≡
≡ cos^2(x) - sin^2(x) + 2 - 3*cos(x) > 0
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B) Sostituire a sin^2(x) la sua espressione in coseno.
* cos^2(x) - sin^2(x) + 2 - 3*cos(x) > 0 ≡
≡ cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) + 2 - 3*cos(x) > 0 ≡
≡ 2*cos^2(x) - 1 + 2 - 3*cos(x) > 0 ≡
≡ cos^2(x) - (3/2)*cos(x) + 1/2 > 0 ≡
≡ u^2 - (3/2)*u + 1/2 > 0
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C) Ogni trinomio quadratico monico è positivo all'esterno delle radici, se ne ha; altrimenti è positivo ovunque.
* u^2 - (3/2)*u + 1/2 = (u - 1/2)*(u - 1)
quindi
* u^2 - (3/2)*u + 1/2 > 0 ≡
≡ (u < 1/2) oppure (u > 1) ≡
≡ (cos(x) < 1/2) oppure (cos(x) > 1) ≡
≡ (è elementare, la fai tu) oppure (insieme vuoto)