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Livello 1
Problema:
Risolvere la seguente disequazione goniometrica:
$1-\cos ^2 x -2 \sin x \cos x >0$
Soluzione:
Si usa il fatto che $\sin ^2 x + \cos ^2 x =1$.
$1-\cos ^2 x -2 \sin x \cos x >0$
$\sin ^2 x -2 \sin x \cos x >0$
$\sin x ( \sin x -2 \cos x)>0$
$\sin x >0 \implies 2\mathbb{Z}π<x<π+2\mathbb{Z}π$
$\sin x -2 \cos x>0 \implies_{\cos x \neq 0} \tan x > 2 \implies \arctan 2 + \mathbb{Z}π < x < \frac{π}{2} + \mathbb{Z}π$.
Da qui procedi con la tabella dei segni prendendo i +.
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Livello 6
@rebc ma se lo risolvessi dividendo per cos2x come dovrei ragionare con la tangente sulla circonferenza?
@greggg puoi considerare $\cos ^2 x \neq 0$ e ottieni, con $t=\tan x$, $t(t-2)>0$ ,ossia $t<0 \vee t>2$, da qui hai $\tan x <0 \vee \tan x >2$.
Quando hai la tangente devi disegnare la circonferenza unitaria su un piano $Oxy$ e la retta $x=1$, la quale è tangente alla circonferenza.
Per $\tan x < 0$ evidenzi la parte sotto l'asse $x$ di tale retta e noti che ciò è valido solo per $ \frac{π}{2}+\mathbb{Z}π < x < π+ \mathbb{Z}π$.
Per $\tan x >2$ evidenzi la parte della retta sopra l'asse $x$ dall'intersezione con il prolungamento del raggio in poi.
Ottieni $\arctan 2 +\mathbb{Z}π<x< \frac{π}{2}+\mathbb{Z}π$.
@rebc graziee ❤️❤️
@rebc grazie davvero
1 - COS(x)^2 - 2·SIN(x)·COS(x) > 0
SIN(x)^2 - 2·SIN(x)·COS(x) > 0
Procedo per via grafica. Pongo:
{SIN(x) = Υ
{COS(x) = Χ
Risolvo il sistema:
{Υ·(Υ - 2·Χ) > 0
{Υ^2 + Χ^2 = 1
I punti A ed A' hanno coordinate:
{Υ - 2·Χ = 0
{Υ^2 + Χ^2 = 1
risolvo: [Υ = 2·√5/5 ∧ Χ = √5/5, Υ = - 2·√5/5 ∧ Χ = - √5/5]
{SIN(x) = 2·√5/5
{COS(x) = √5/5
quindi: TAN(x) = 2----> x = ATAN(2)
soluzione: ATAN(2) + k·pi < x < pi + k·pi
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Genius III