disequazione goniometrica

Problema:

Risolvere la seguente disequazione goniometrica:

$\sin^2 x -3 \sin x \cos x +2 \cos ^2 x ≥0$

Soluzione:

Si considera $\cos x \neq 0$.

$\sin^2 x -3 \sin x \cos x +2 \cos ^2 x ≥0$

$\tan^2 x -3 \tan x +2≥0$

Si pone $t=\tan x$:

$t^2-3t+2≥0$

$t≤1 \cup t≥2$

$\tan ≤1 \vee \tan ≥2$

$-\frac{π}{4}+\mathbb{Z}π≤x≤\frac{π}{4}+\mathbb{Z}π \vee \arctan 2 + \mathbb{Z}π≤x≤\frac{π}{2}+\mathbb{Z}π$.

Metodo grafico

SIN(x)^2 - 3·SIN(x)·COS(x) + 2·COS(x)^2 ≥ 0

pongo:

{Υ = SIN(x)

{Χ = COS(x)

Quindi:

Υ^2 - 3·Υ·Χ + 2·Χ^2 ≥ 0

Da cui il sistema:

{(Υ - Χ)·(Υ - 2·Χ) ≥ 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

che risolto fornisce il grafico:

I punti del grafico si ottengono dal sistema:

{(Υ - Χ)·(Υ - 2·Χ) = 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

quindi sono:

[Υ = √2/2 ∧ Χ = √2/2, Υ = - √2/2 ∧ Χ = - √2/2, Υ = 2·√5/5 ∧ Χ = √5/5, Υ = - 2·√5/5 ∧ Χ = - √5/5]

Vedi poi la soluzione

SIN(x) = COS(x) = √2/2-----> x = pi/4

SIN(x) = COS(x) = - √2/2-----> x = 5·pi/4

{SIN(x) = 2·√5/5

{COS(x) = √5/5

TAN(x) = 2----> x = ATAN(2)

Quindi:

ATAN(2) + k·pi ≤ x ≤ 5·pi/4 + k·pi