Disequazione esponenziale risolubile n. 784 risolubile con logaritmi

Question

Buona serata a tutti voi; pubblico la disequazione esponenziale n. 784 dove, dopo una serie di altri esercizi eseguiti con successo, ho incontrato serie difficoltà dovuta alla presenza sia al numeratore che al denominatore basi tutte diverse e sia al numeratore che al denominatore due segni - . In aggiunta trattasi di una disequazione fratta, il che complica ulteriormente le cose (tutte ciò, chiaramente dal mio punto di vista; non escludo invece che a molti di voi sembrerà semplice e veloce da risolvere. Chiedo, viste le difficoltà incontrate, di voler gentilmente spiegare passaggio per passaggio per rendermi conto di come andava gestita. Il risultato è : 3log 2/ 2 + log2 minore o uguale x minore log5 + log7 tutto fratto 2log 5 -log7.

Ancora vivi ringraziamenti a tutti coloro che vorranno aiutarmi anche questa volta e del cui sostegno sono certo.

Autore

Risposta

Beppe

(@beppe)

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27/11/2022 00:25

EidosM · Accepted Answer

La disequazione fratta é in forma normale

N >= 0

(100^x * 2^x - 8 ) > = 0

200^x > = 8

x log 200 > = log 2^3

(2 + log 2) x >= 3 log 2

x >= 3 log 2/(2 + log 2) ( a = circa 0.131 )

D > 0

5^(2x - 1) - 7^(x+1) > 0

5^(2x - 1) > 7^(x + 1)

(2x - 1) log 5 > (x + 1) log 7

2x log 5 - x log 7 > log 5 + log 7

(2 log 5 - log 7) x > log 5 + log 7

ed essendo il coefficiente che accompagna x positivo perché

log 25 - log 7 = log 25/7 = log b con b > 1

D > 0 => x > (log 5 + log 7)/(2 log 5 - log 7). (b = Circa 2.793 )

Ora si devono confrontare i segni con un grafico

a b

N ------------+++++++++++++++++++++++++++

D -----------------------------++++++++++++++++++

N/D ++++++----------------++++++++++++++++++

Così la soluzione é l'intervallo interno

3 log 2/(2 + log 2) <= x < (log 5 + log 7)/(2 log 5 - log 7)

EidosM

(@eidosm)

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27/11/2022 07:44

exProf · Answer

Denominatore---------------* D(x) = 5^(2*x - 1) - 7^(x + 1) = 0 ≡≡ 25^x/5 = 7*7^x ≡≡ (25/7)^x = 35 ≡≡ x = log(25/7, 35) = ln(35)/ln(25/7) ~= 2.79* D(x) = 5^(2*x - 1) - 7^(x + 1) < 0 ≡ x < ln(35)/ln(25/7)* D(x) = 5^(2*x - 1) - 7^(x + 1) > 0 ≡ x > ln(35)/ln(25/7)http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=x*y0y52*x-1-7x1x-3to5y-300to50http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=lim+52*x-1-7x1+------------------------------Numeratore---------------* N(x) = 100^x - 2^(3 - x) = 0 ≡≡ 100^x = 8/2^x ≡≡ 200^x = 8 ≡≡ x = log(200, 8) = ln(8)/ln(200) ~= 0.39* N(x) = 100^x - 2^(3 - x) < 0 ≡ x < log(200, 8)* N(x) = 100^x - 2^(3 - x) > 0 ≡ x > log(200, 8)------------------------------Posto* f(x) = N(x)/D(x)si ha che* f(x) è definita per: x != log(25/7, 35)* f(x) è nulla per: x = log(200, 8)* f(x) è negativa per: (D(x) < 0) & (N(x) > 0) oppure (D(x) > 0) & (N(x) < 0) ≡≡ (x < ln(35)/ln(25/7)) & (x > log(200, 8)) oppure (x > ln(35)/ln(25/7)) & (x < log(200, 8)) ≡≡ (log(200, 8) < x < ln(35)/ln(25/7)) oppure (insieme vuoto) ≡≡ log(200, 8) < x < ln(35)/ln(25/7)------------------------------CONCLUSIONE784) f(x) = N(x)/D(x) = (100^x - 2^(3 - x))/(5^(2*x - 1) - 7^(x + 1)) <= 0 ≡≡ (x != log(25/7, 35)) & (log(200, 8) <= x < ln(35)/ln(25/7)) ≡≡ log(200, 8) <= x < ln(35)/ln(25/7)

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