Disequazione esponenziale intera con valori assoluti n.4

In base a quanto hai scritto hai ragione tu. Fra poco i calcoli.

Liberiamo i moduli:

ABS(4^x - 3)= 4^x - 3

se 4^x - 3 ≥ 0---->x ≥ LN(3)/(2·LN(2)) =0.7924812503

ABS(4^x - 3) = 3 - 4^x

se x < LN(3)/(2·LN(2))

ABS(4^x - 2) = 4^x - 2

se 4^x - 2 ≥ 0-----> x ≥ 1/2 = 0.5

ABS(4^x - 2) = 2 - 4^x  se x<1/2

ABS(4^x - 1) = 4^x - 1

se 4^x - 1 ≥ 0  ---> x ≥ 0

ABS(4^x - 1) = 1- 4^x   se x < 0

-------------------------------

{x < 0

{(3 - 4^x) + (2 - 4^x) + (1 - 4^x) > 6----> 6 - 3·2^(2·x) > 6

IMPOSSIBILE

---------------------------------

{0 ≤ x < 1/2

{(3 - 4^x) + (2 - 4^x) + (4^x - 1) > 6----> 4 - 2^(2·x) > 6

IMPOSSIBILE

--------------------------------

{1/2<=x<LN(3)/(2·LN(2))

{(3 - 4^x) + (4^x - 2) + (4^x - 1) > 6------> 2^(2·x) > 6

dalla seconda: x > LN(3)/(2·LN(2)) + 1/2 = 1.292481250

Sistema IMPOSSIBILE

-----------------------------

{x ≥ LN(3)/(2·LN(2)) 

{(4^x - 3) + (4^x - 2) + (4^x - 1) > 6

Dalla seconda:

3·2^(2·x) - 6 > 6----> 2^(2·x) > 2^2

2·x > 2---> x > 1

Soluzione del sistema: x > 1 che è soluzione della disequazione proposta

Dopo aver determinato il segno dei singoli argomenti dei valori assoluti, risolveremo la 4 disequazioni.

i) Determiniamo il segno dell'argomento dei valori assoluti.

1. $ 4ˣ-1$ 
   1. ≤ 0 per x ≤ 0
   2. > 0 per x > 0
2. $ 4ˣ-2$ 
   1. ≤ 0 per x ≤ 1/2
   2. > 0 per x > 1/2
3. $ 4ˣ-3$ 
   1. ≤ 0 per x ≤ log₄3
   2. > 0 per x > log₄3

ii) Riportiamo la situazione nella linea dei numeri

_____0______1/2______log₄3____
-------0++++++++++++++++++   4ˣ-1
------------------0++++++++++++  4ˣ-2
------------------------------0+++++   4ˣ-3

iii) Risolviamo le 4 disequazioni

1. Se x ≤ 0 allora 3-4ˣ+2-4ˣ+1-4ˣ > 6  ⇒ 4ˣ <  0 ⇒ Nessuna soluzione
2. Se 0 ≤ x < 1/2 allora 3- 4ˣ+2-4ˣ+4ˣ-1 > 6  ⇒ -4ˣ >  2 ⇒ Nessuna soluzione
3. Se 1/2 ≤ x < log₄3  allora 3- 4ˣ+4ˣ-2+4ˣ-1 > 6  ⇒ 4ˣ > 6 ⇒ Nessuna soluzione nell'intervallo [1/2, log₄3)
4. Se x ≥ log₄3  allora  4ˣ-3 +4ˣ-2+4ˣ-1 > 6  ⇒ 3*4ˣ > 12 ⇒ x > 1

Mi piacerebbe affermare che visto che la mia risposta coincide con la tua allora questa è la risposta giusta. Come dimostrazione fa acqua da tutte le parti. Facciamo una verifica.

Scegliamo una x > 1 a esempio x = 2 Avremo

16-3+16-2+16-1 > 6 ⇒ 48 > 12  Vero.

Ma attenzione, così abbiamo provato che la risposta del libro è sbagliata. 

Si è fatto tardi, quindi dico che è molto probabile che la risposta corretta sia x > 1.