[Risolto] Disequazione esponenziale

Regole delle potenze di uguale base. Si sommano gli esponenti nella moltiplicazione di potenze di uguale base; si sottraggono nella divisione.

La radice quadrata si può scrivere come elevamento a potenza 1/2

[3^(6x) : 3^2]^1/2 = [3^(6x - 2)]^1/2;

Potenza di potenza: si moltiplicano gli esponenti;

(6x - 2) * 1/2 = 3x - 1;

3^(3x - 1) / 3^7 < |-3^-x|;

3^(3x - 1 - 7) < |- 3^-x|;

|- 3^-x| = 3 ^-x;

3 ^ (3x - 8) < 3^-x;

base 3 positiva, maggiore di 1, anche gli esponenti hanno la stessa disuguaglianza.

confrontiamo gli esponenti:

3x - 8 < - x;

3x + x < 8;

4x < 8;

x < 2.

Facciamo una verifica:

3 ^ (3x - 8) < 3^-x;

x = 1;

3^ (3 - 8) < 3^-1;

3^-5 < 1/3;

(1/3)^5 < 1/3 ; vero;

x = 0;

3^-8 < 3 ^0;

(1/3)^8 < 1; vero.

Ciao @beppe

Ciao di nuovo.

√(3^(6·x)/3^2)/3^7 < ABS(- 3^(-x))

√(3^(6·x - 2))/3^7 < ABS(- 3^(-x))

3^(3·x - 1)/3^7 < ABS(- 3^(-x))

3^(3·x - 8) < ABS(- 3^(-x))

3^(3·x - 8) < 3^(-x)

3·x - 8 < -x

(l'esponente segue il segno della disequazione in quanto base esponente >1)

4·x < 8-------> x < 2

@Beppe

Ciao Beppe, 

Buona serata.

Stefano 

Per le proprietà delle potenze e ricordando che |-b| = |b| e se b = a^x, |b| = a^x 

3^[(6x - 2)/2 - 7] < 3^(-x)

essendo 3 > 1

3x - 1 - 7 < - x

3x + x < 1 + 7

4x < 8

x < 8/2

x < 2

Un po' di massaggio preliminare
* √(3^(6*x) : 3^2)/3^7 < |- 3^(- x)| ≡
≡ √(3^(6*x - 2)) < (3^7)*|- 1/3^x| ≡
≡ √((3^(3*x - 1))^2) < |- 3^(7 - x)|
poi un paio d'osservazioni ...
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A) Per argomento R reale si ha che √(R^2) = |R|.
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B) I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
B1) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
B2) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
B3) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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... e infine la PROCEDURA RISOLUTIVA (caso B3 stretto).
* √(3^(6*x) : 3^2)/3^7 < |- 3^(- x)| ≡
≡ √((3^(3*x - 1))^2) < |- 3^(7 - x)| ≡
≡ |3^(3*x - 1)| < |- 3^(7 - x)| ≡
≡ |- 3^(7 - x)| > 3^(3*x - 1) ≡
≡ (- 3^(7 - x) < - 3^(3*x - 1)) || (3^(3*x - 1) < - 3^(7 - x)) ≡
≡ (3^(4*x) < 3^8) || (3^(3*x - 1) + 3^(7 - x) < 0) ≡
≡ (4*x < 8) || (insieme vuoto) ≡
≡ x < 2