Disequazione di secondo grado letterale, 2 anno scientifico

(x^2 - x + 6·b)/(b - 1) < x - 6·b

(x^2 - x + 6·b)/(b - 1) - x + 6·b < 0

(x^2 - b·x + 6·b^2)/(b - 1) < 0

Analizziamo il numeratore:

x^2 - b·x + 6·b^2

calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

Δ = (-b)^2 - 4·6·b^2 = - 23·b^2

per b ≠ 0

Il numeratore è sempre N>0, quindi il segno è dettato dal denominatore D

Quindi :

La disequazione (in grassetto) risulta essere IMPOSSIBILE se b >1 in quanto il rapporto risulta >0

(e non <0)

La disequazione perde di significato per b=1

Per b=0 risulta:

(x^2 - 0·x + 6·0^2)/(0 - 1) < 0----> x^2>0

quindi risulta verificata se e solo se x ≠ 0

Come ultima possibilità, ossia se

b < 0 ∨ 0 < b < 1 la disequazione è sempre soddisfatta : R

\[\frac{x^2 - x + 6b}{b - 1} < x - 6b \mid b > 1 \implies x^2 - x + 6b < xb - 6b^2 - x + 6b \iff x^2 - xb + 6b^2 < 0\]

\[\Delta = b^2 - 24b^2 \mid -23b^2 < 0 \iff b^2 > 0 \land b > 1 \implies\]

\[\forall b > 1 \quad \nexists x \in \mathbb{R} \mid \frac{x^2 - x + 6b}{b - 1} < x - 6b\,.\]

\[\frac{x^2 - x + 6b}{b - 1} < x - 6b \mid b < 0 \lor 0 < b < 1 \implies x^2 - x + 6b > xb - 6b^2 - x + 6b\]

\[\iff x^2 - xb + 6b^2 > 0 \iff x(x - b) + 6b^2 > 0 \implies x(x - b) + 6b^2 > 0\]

\[\forall x \in \mathbb{R} \quad \text{tale che} \quad b < 0 \lor 0 < b < 1\,.\]

Per $b = 1\,$, la funzione razionale non è definita; per $b = 0\,, x \neq 0$ in quanto

\[\frac{x^2 - x + 6b}{b - 1} < x - 6b \:\Bigg|_{\substack{x = 0}}^{b = 0} \implies 0 < 0 \quad \text{impossibile}\,.\]

La complessità consiste solo in una distinzione di casi sul segno del denominatore: due casi semplici e uno banale.
A) b - 1 < 0 ≡ b < 1: 292 ≡ x^2 - (x - 6*b) > (b - 1)*(x - 6*b) ≡ x^2 - b*x + 6*b^2 > 0
B) b - 1 = 0 ≡ b = 1: 292 ≡ indefinito
C) b - 1 > 0 ≡ b > 1: 292 ≡ x^2 - (x - 6*b) < (b - 1)*(x - 6*b) ≡ x^2 - b*x + 6*b^2 < 0
dove, per Bramegupta, si ha
* x^2 - b*x + 6*b^2 = 0 ≡
≡ (x - b/2)^2 - (b/2)^2 + 6*b^2 = 0 ≡
≡ (x - b/2)^2 = (23/4)*b^2 ≡
≡ x - b/2 = ± √(23*b^2)/2 ≡
≡ x = (b ± √(23*b^2))/2
e, in base a ciò, non dovrebbero sorgere difficoltà nell'ottenere
A) (x^2 - b*x + 6*b^2 > 0) & (b < 1) ≡ (b = 0) & (x != 0) oppure (0 != b) & (∀ x ∈ R)
C) (x^2 - b*x + 6*b^2 < 0) & (b > 1) ≡ ∄ x ∈ R