[Risolto] Disequazione di II grado

@Aurora_Lecchi

Il mio suggerimento è quello di non risolvere necessariamente ogni equazione di secondo grado con la relativa formula, ma di provare a ragionare caso per caso, cercando di capire se è possibile FATTORIZZARE IL POLINOMIO e STUDIARNE IL SEGNO in maniera più semplice.

Esempio (1) pratico relativo all'esercizio in questione:

X² - 2x > 0

Invece di applicare la formula, si raccoglie x a fattor comune 

x* (x-2) > 0

Applicando la legge di annullamento del prodotto si determinano gli zeri del polinomio x=0, x=2.

Essendo il termine di secondo grado positivo, la disequazione è verificata per valori esterni all'intervallo delle radici, ossia x<0 oppure x>2. 

Altro esempio (2) relativo all'esercizio:

- 2x² + 4x - 2 > 0

Invece di applicare la formula, anche se correttamente, possiamo raccogliere il fattore - 2 e scrivere 

- 2 * (x² - 2x + 1) > 0

Osserviamo che il termine tra parentesi è il quadrato di un binomio, le cui radici coincidenti sono per x=1, ed è quindi una quantità sempre positiva o nulla. Moltiplicata per una quantità negativa, - 2

-2 * (x - 1)² > 0

il numeratore è sempre minore di zero e quindi la disequazione mai verificata. 

Se vogliamo quindi l'intera frazione minore di zero, dovrà essere il denominatore maggiore di zero (esempio 1)

Il sistema di disequazioni #588
* (1/x - 1/(x - 2) < 2) & (16 - x^2 > 0)
essendo definito per x non in {0, 2}, va inteso e sviluppato come
* (1/x - 1/(x - 2) < 2) & (16 - x^2 > 0) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ (1/x - 1/(x - 2) - 2 < 0) & ((x + 4)*(x - 4) < 0) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ (2*(x - 1)^2/((x - 2)*x) > 0) & ((x + 4)*(x - 4) < 0) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ ((x - 2)*x > 0) & (x != 1) & (- 4 < x < 4) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ ((x < 0) oppure (x > 2)) & (- 4 < x < 4) & (x != 0) & (x != 1) & (x != 2) ≡
≡ ((x < 0) & (- 4 < x < 4) oppure (x > 2) & (- 4 < x < 4)) & (x != 0) & (x != 1) & (x != 2) ≡
≡ ((- 4 < x < 0) oppure (2 < x < 4)) & (x != 0) & (x != 1) & (x != 2) ≡
≡ (- 4 < x < 0) oppure (2 < x < 4)
Quindi la tua soluzione è corretta.
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"sapete dirmi se è giusto l'esercizio risolto così?"
Rispondere a questa domanda è più impegnativo che se avessi solo chiesto se la tua soluzione è corretta.
La mia risposta è «No, non te lo so dire.»

Il risultato è esatto.

Quando arrivi a

(-2 - 2x^2 + 4x)/(x(x-2)) < 0

la riscrivi come

2(x^2-2x+1)/(x(x-2)) > 0

(x-1)^2/(x(x-2)) > 0

x =/= 1 e x < 0 V x > 2

x < 0 V x > 2

l'altra dà - 4 < x < 4

e il sistema é verificato per - 4 < x < 0 e 2 < x < 4

La soluzione è esatta. 👍 👍 👍