[Risolto] Disequazione con valore assoluto

@francesca1234 

I due moduli si liberano:

ABS(x + 2) = x + 2   se x ≥ -2

ABS(x + 2) = - (x + 2)    se x < -2

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ABS(x + 1) = x + 1   se x ≥ -1

ABS(x + 1) = - (x + 1)   se x < -1

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Facciamo quindi riferimento a tre campi:

per cui la disequazione con moduli è riportabile alla risoluzione di tre sistemi:

{- (x + 2) ≥ - (x + 1)

{x < -2

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{x + 2 ≥ - (x + 1)

{-2 ≤ x < -1

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{x + 2 ≥ x + 1

{x ≥ -1

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Il primo è impossibile perché la prima disequazione che lo compone è impossibile

Il secondo fornisce soluzione: [- 3/2 ≤ x < -1]

Il terzo fornisce soluzione: [x ≥ -1]

Quindi devi unire solo le soluzioni del 2° e 3° sistema:

[- 3/2 ≤ x < -1] ∨ [x ≥ -1]------> [x ≥ - 3/2]

che è soluzione finale.

RISPOSTE DA SOTTO IN SU
1) Ciao anche a te.
2) Sì, potrei risolverla, prego.
3) Il titolo è sbagliato: come vedrai nel seguente "ripasso" preliminare, c'è una bella differenza fra una "Disequazione con valore assoluto" (come hai scritto tu) e una "Disequazione con valori assoluti" com'è invece quella proposta
* |x + 2| >= |x + 1|
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RIPASSO
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Eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
A) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
B) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
C) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
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Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}.
Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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RISOLUZIONE
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La disequazione data si risolve, applicando prima le regole C ed A, tramutandola in quattro disequazioni elementari da combinare opportunamente.
* |x + 2| >= |x + 1| ≡
≡ (x + 2 <= - |x + 1|) || (|x + 1| <= x + 2) ≡
≡ (|x + 1| <= - x - 2) || (|x + 1| <= x + 2) ≡
≡ ((x + 2 <= x + 1) & (x + 1 <= - x - 2)) || ((- x - 2 <= x + 1) & (x + 1 <= x + 2)) ≡
≡ ((x + 2 - (x + 1) <= 0) & (x + 1 - (- x - 2) <= 0)) || ((- x - 2 - (x + 1) <= 0) & (x + 1 - (x + 2) <= 0)) ≡
≡ ((1 <= 0) & (2*x + 3 <= 0)) || ((- 2*x - 3 <= 0) & (- 1 <= 0)) ≡
≡ ((insieme vuoto) & (x <= - 3/2)) || ((x >= - 3/2) & (tutto l'asse x)) ≡
≡ (insieme vuoto) || (x >= - 3/2) ≡
≡ x >= - 3/2
CONTROPROVA nel paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%7Cx%2B2%7C%3E%3D%7Cx%2B1%7C
dove "Re(x)" è "la parte reale di x"; in questo caso, tutto x.