Disequazione con arcocoseno

Insieme di definizione:

{-1 =< (x-1)/(x+2) <= 1

{-1 =< (x+1)/(x-2) <= 1

{x≠ ±2

Dall'intersezione delle due condizioni si ricava 

-1/2<=x<=1/2

La funzione arccos è una funzione decrescente nel suo insieme di definizione. Quind deve essere verificata la condizione 

(x-1)/(x+2) < (x+1)/(x-2)

Da cui si ricava:

-2<x<0  v x>2

Mettendo a sistema la condizione appena trovata con quella di esistenza della funzione si ricava 

S={ - 1/2 =< x < 0}

Disequazione con arcocoseno
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Arcocoseno
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Per u ∈ [- 1, 1] si ha arccos(u) ∈ [0, π], reale e monotòna decrescente.
Pertanto l'espressione
* arccos((x - 1)/(x + 2)) - arccos((x + 1)/(x - 2)) > 0
definita per |x| != 2 e in cui la diseguaglianza d'ordine stretto impone la realtà di ambo i membri, è una disequazione se e solo se
* (- 1 <= (x - 1)/(x + 2) <= 1) & (- 1 <= (x + 1)/(x - 2) <= 1) & (|x| != 2) ≡
≡ (- 1/2 <= x <= 1/2)
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Argomenti
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Le funzioni omografiche argomento delle arcocoseno sono orientate ad angolo retto ed hanno
* asintoti verticali in x = ± 2, ben esterni all'intervallo - 1/2 <= x <= 1/2
* asintoto orizzontale comune in y = 1
* intersezione dei rami inferiori alla y = 1 in (0, - 1/2)
quindi per x = 0 si ha
* arccos((0 - 1)/(0 + 2)) = 120°
* arccos((0 + 1)/(0 - 2)) = 120°
e, per la disequazione, resta solo da vedere chi e dove sovrasta/soggiace.
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Andamenti
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Il ramo inferiore di y = (x - 1)/(x + 2), nel IV quadrante degli asintoti, è monotòno crescente.
Il ramo inferiore di y = (x + 1)/(x - 2), nel III quadrante degli asintoti, è monotòno decrescente.
La arccos(u) è monotòna decrescente.
Pertanto:
* per x < 0, arccos((x - 1)/(x + 2)) sovrasta arccos((x + 1)/(x - 2))
* per x = 0, arccos((x - 1)/(x + 2)) eguaglia arccos((x + 1)/(x - 2))
* per x > 0, arccos((x - 1)/(x + 2)) soggiace a arccos((x + 1)/(x - 2))
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Conclusione
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* (arccos((x - 1)/(x + 2)) - arccos((x + 1)/(x - 2)) > 0) & (- 1/2 <= x <= 1/2) ≡
≡ (x < 0) & (- 1/2 <= x <= 1/2) ≡
≡ - 1/2 <= x < 0
CONTROPROVA al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=arccos%28%28x-1%29%2F%28x--2%29%29-arccos%28%28x--1%29%2F%28x-2%29%29%3E0