[Risolto] Disegno poligono irregolare

La risposta corretta è $\textbf{A}$.

Scusa per il diagramma molto confusionario, ma gli angoli segnati in verde sono tutti gli angoli che puoi trovare usando il teorema del coseno, e tutti quelli che ti servono per disegnare il poligono (forse ho fatto qualche passaggio in più). La diagonale $\overline{AC}$ è disegnata in rosso perché per trovarla ho dovuto usare la formula del teorema del coseno per il terzo lato, mentre gli angoli li ho ricavati con le formule inverse usando il teorema del coseno, alcune volte per differenza (sapendo che la somma degli angoli in un triangolo è sempre $180^{\circ}$, oppure se conosco un l'angolo a cui due si sommano e uno dei due angoli posso ricavare il secondo $\alpha + \beta = \gamma \implies \gamma - \beta = \alpha$). Non andrò nei dettagli sul come esattamente ho ricavato tutti gli angoli perché è un processo relativamente lungo da seguire anche leggendo mentre guardi la figura ed una spiegazione fine a sé stessa. Ricorda che quando applichi il teorema conosci i lati e le diagonali in nero. L'importante è che come vedi tutti gli angoli tra i lati possano essere ottenuti sommando gli angoli nei triangoli più piccoli oppure direttamente con il teorema, quindi sappiamo esattamente come disegnare i segmenti.

Se non dovessi ricordarlo, il teorema del coseno è espresso in formula come $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos \gamma$ dove $a,b,c$ sono i lati del triangolo e $\gamma$ è l'angolo compreso tra i lati $a$ e $b$, come vedi è facile ricavare l'angolo compreso tra due lati conoscendoli tutti e tre (basta usare $\arccos$, oppure $\cos^{-1}$ se sei più familiare con questa notazione). Se sei interessato, puoi trovare una dimostrazione di questo teorema qui. Normalmente l'avrei dimostrato io stesso, ma non vorrei dilungarmi più di quanto non abbia già fatto, e poi non era questa la richiesta dell'esercizio.

 Nota: naturalmente il disegno ti serve solo a visualizzare il problema e vedere alcuni triangoli che si formano per le intersezioni (lo scopo dell'esercizio è trovare gli angoli prima e fare il disegno dopo), il mio diagramma è stato disegnato puramente a caso con numeri a caso che ho lasciato per dimostrare che non erano incognite. Se provassi con delle misure fisse per i lati e le due diagonali, ma angoli a caso non riusciresti sempre a costruire un pentagono senza calcolare gli angoli (il poligono potrebbe intrecciarsi, oppure non chiudersi proprio). Per verificare non serve effettivamente fare calcoli, ma assicurati di aver abbastanza informazioni prima di pensare di conoscere un segmento o un angolo (abbastanza informazioni per ricavarlo), poi ragiona a catena. Se non ti piace l'approccio diretto puoi anche procedere eliminando prima tutte le altre (tecnicamente non potresti eliminare la $\textbf{E}$, però ti assicuro che la $\textbf{A}$ è corretta).

Scusa la lunghezza della risposta, ma volevo assicurarmi di essere il più chiaro possibile.

Si richiede una tediosa ed iterativa applicazione del teorema di F. Viete (a.k.a. cosine theorem), e per poter fare ciò occorre conoscere la misura dei 5 lati e quella di due diagonali come esaurientemente mostrato e spiegato da @ Gabo.

Opzione A, quindi....