disegna il grafico della funzione logaritmica

$ y = \frac{lnx}{|lnx|} + 2lnx $

• Dominio.
  • • $ln(x) \; ⇒ \; x > 0 $
    • $ \frac{1}{|ln(x)|} \; ⇒ \; x \ne 1 $
• Dominio = (0, 1) U (1, +∞)

Osserviamo che il primo addendo non è altro che la funzione segno(ln(x)) quindi il suo valore sarà
$  sgn(\frac{lnx}{|lnx|}) = \begin{cases} -1 \text{  in (0, 1)} \\ 1 \text{  in (1, +∞)} \end{cases} $
ci aspettiamo una discontinuità in x = 1.

• Comportamento nei punti di frontiera
  • • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = -1 + 2 \cdot (-\infty) = - \infty $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = 1 + 2 \cdot (+\infty) = + \infty $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} y(x) = -1 $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = +1 $
      Per x = 1 si ha una discontinuità di 1° tipo con salto δ = 2

• Monotonia
  • • $y'(x) = \frac{2}{x}$    nota la derivata della funzione segno vale 0 laddove definita.
    • Segno della derivata prima. Nel Dominio (x > 0) la derivata prima ha segno positivo.
    • per cui, y(x) è crescente negli intervalli (0, 1) e (1, +∞), inoltre il limite sinistro di 1 è minore del limite destro, possiamo così concludere che la funzione è strettamente crescente in tutto il suo Dominio. 
    • Non vi sono punti stazionari quindi ne minimi, ne massimi ne flessi orizzontali.

• Grafico. Da quanto calcolato possiamo abbozzare il suo grafico.
  • • https://www.desmos.com/calculator/hmsftnjyza