Discontinuitá

a) Affinché la funzione tenda a oo per x->4, l'argomento deve tendere a 0

(4k - 1 = 0 => k = 1/4)   oppure a +oo (4 - k ->0 => k = 4)

b) per x = 1 l'argomento vale (k - 1)/(1 - k) che é sempre -1, dove il logaritmo non é definito,

tranne che per k = 1 in cui c'é una forma indeterminata del tipo 0/0.

Si deve quindi controllare che il lim_x->1   ln [(x-1)/(x-1)] sia finito, e in effetti é ln 1 = 0.

a

b

Anche se stamattina hai già avuto due ottimi svolgimenti, la domanda è troppo interessante per rinunciare a scriverci su qualche provocazione delle mie: abbi pazienza e sorbìsciti una terza risposta da un punto di vista vecchile.
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CAPIRE COME SVOLGERE QUESTO ESERCIZIO
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Come in ogni esercizio si inizia da un'analisi del testo e dalla comprensione dei suoi significati (questa parte si fa a mente, di solito; nell'elaborato da consegnare ce ne va poco o punto.).
Il testo presenta l'espressione algebrica di una funzione in (x, k) e due problemi che riguardano le sue proprietà.
La funzione è nominata "di x", quindi la variabile k è intesa parametro; non è esplicitamente dichiarato, ma si presume che entrambe le variabili siano reali.
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La funzione logaritmica
* f(x) = ln((k*x - 1)/(x - k))
è definita se e solo se non siano nulli né il denominatore dell'argomento né l'argomento stesso, cioè per
* (x - k != 0) & ((k*x - 1)/(x - k) != 0) ≡
≡ non (x = k = - 1) né x in {k, 1/k} != - 1
ed è definita reale per
* (x - k != 0) & ((k*x - 1)/(x - k) > 0)
cioè, secondo il valore di k, negl'intervalli
* k < - 1: k < x < 1/k
* - 1 < k < 0: 1/k < x < k
* k = 0: x < 0
* 0 < k <= 1: (x < k) oppure (x > 1/k)
* k > 1: (x < 1/k) oppure (x > k)
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I limiti d'interesse sono:
* lim_(x → ∞) f(x) = ln(k)
* lim_(x → 0) f(x) = ln(1/k)
* lim_(x → k) f(x) = ∞
* lim_(x → 1/k) f(x) = - ∞
* lim_(x → 4) f(x) = ln((1 - 4*k)/(k - 4))
* lim_(x → 1) f(x) = i*π
* lim_(x → - 1, k → - 1) f(x) = i*π
Vedi il paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=i*pi%3Dlim_%28x%E2%86%92-1%2Ck%E2%86%92-1%29++ln%28%28k*x-1%29%2F%28x-k%29%29
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Una volta comprese, non tutte a colpo d'occhio, le proprietà salienti della f(x, k) capire come risolvere i due problemi su di essa dovrebb'essere più accessibile di quanto non sembrasse a prima lettura.
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PROBLEMI
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a) Determinare il valore di k per cui la f(x) ha, in x = 4, una discontinuità essenziale (di seconda specie); cioè da almeno un lato ha limite infinito.
Per avere limite infinito in x = 4 occorre e basta che
* lim_(x → 4) f(x) = ln((1 - 4*k)/(k - 4))
sia indefinito cioè che sia zero uno dei termini dell'argomento
* (k = 4) oppure (k = 1/4)
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b) Determinare il valore di k per cui la f(x) ha, in x = 1, una discontinuità eliminabile (di terza specie); cioè per cui la f(x) ha limiti da ambo i lati con egual valore, ma diverso da quello della f(x) stessa.
NESSUN VALORE DI k DA' LA DISCONTINUITA' RICHIESTA, infatti
* f(1) = ln((k - 1)/(1 - k)) = ln(- 1) = ln(1) + i*π = i*π
che è lo stesso valore puramente immaginario dei due limiti laterali.