[Risolto] Dinamica rotazionale di un corpo rigido

@eva_massaro

Ciao.

Supponiamo per il momento che il pacco abbia un contrappeso di massa m2: in tal caso il sistema equivale ad una macchina di Atwood con carrucola di massa non trascurabile, l’accelerazione del sistema è:

a=g*(Mp-M2)/(Mp+M2+1/2*Mc)= 9.81·(3.2 – M2)/(3.2 + M2 + 1/2·1.6)

posto m2=0 kg   (manca un contrappeso):

a= g·(mp - 0)/(mp + 0 + 1/2·mc) = 9.81·(3.2 - 0)/(3.2 + 0 + 1/2·1.6) = 7.848 m/s^2

Il tempo impiegato dal pacco a raggiungere terra è:

s = 1/2·a·t^2 = 1.4 m ----    t = √(2·1.4/7.848) = 0.6  s (circa)

Una dimostrazione un tantino la laboriosa sull'energia in giuoco e che non sto a ripetere qui per mancanza di spazio (parafrasando P. de Fermat 😉) porta a concludere che , in casi come questo :

#  la massa della puleggia, se omogenea, può essere sommata alla massa appesa , purché divisa per due ed al solo scopo inerziale 

# la massa appesa può essere sommata alla massa della puleggia omogenea, purché moltiplicata  per due ed al solo scopo inerziale 

Credo che un esempio possa contribuire a farti capire compiutamente 

a) soluzione con moto traslatorio

massa della puleggia mc = 1,6 kg

massa equivalente della puleggia mce = mc/2 = 0,8 kg 

forza accelerante F = mp*g 

accelerazione a = F / (mp+mce) = 3,2*9,806 / (3,2+0,8) = 7,845 m/sec^2 

tempo t = √2h/a = √2,8/7,845 = 0,597 sec 

b) soluzione con moto rotatorio

massa equivalente del pacco mpe = mp*2 = 6,4 kg 

momento di inerzia J = (mc+mpe)/2*r^2 = ( 1,6+6,4)/2*0,2^2 = 4*0,04 = 0,160 kg*m^2

coppia motrice C = mp*g*r = 3,2*9,806*0,20 = 6,276 N*m

accelerazione angolare α = C/J = 6,276/0,160 = 39,22 rad/sec^2

accelerazione tangenziale a = α*r = 39,22 / 5 = 7,845 m/sec^2  (stesso risultato trovato sopra)