Dimostrazioni con il terzo criterio di congruenza

Ho evidenziato gli elementi più importanti che sono congruenti con gli stessi colori, anche se la dimostrazione prescinde dal disegno, consiglio di seguire la dimostrazione guardandolo.

È noto che per costruzione $\widehat{ACM} = \alpha \cong \widehat{A'C'M'} = \alpha '$, $\widehat{AMC} = \beta \cong \widehat{A'M'C'} = \beta '$, infine che $\overline{CM} \cong \overline{C'M'}$. Gli angoli $\widehat{BMC} = \zeta \cong \widehat{B'M'C'} = \zeta '$ sono congruenti perché supplementari di angoli congruenti, mentre i triangoli $AMC \cong A'M'C'$ sono congruenti per il secondo criterio di congruenza$^{[1]}$, quindi $\overline{AM} \cong \overline{A'M'}$. Inoltre sappiamo che $M$ e $M'$ sono i punti medi di rispettivamente $\overline{AB} \cong \overline{A'B'}$, quindi $\overline{AM} \cong \overline{BM}$, tuttavia $\overline{AM} \cong \overline{A'M'}$, e a sua volta $\overline{A'M'} \cong \overline{B'M'}$, quindi vale la catena di congruenze $\overline{AM} \cong \overline{A'M'} \cong \overline{B'M'} \cong \overline{BM}$, dato che $\overline{B'M'} \cong \overline{BM}$, anche i triangoli $BCM \cong B'C'M'$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza$^{[2]}$, risulta quindi che lati corrispondenti ai due triangoli di partenza sono congruenti fra loro, quindi, per il terzo criterio di congruenza$^{[3]}$, i triangoli $ABC \cong A'B'C'$ sono congruenti.

$\textit{c.v.d.}$

[1] Secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno angoli corrispondenti congruenti e il lato tra essi compreso congruente, allora tali triangoli sono congruenti.

[2] Primo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno lati corrispondenti congruenti e l'angolo tra di essi compreso congruente, allora tali triangoli sono congruenti.

[3] Terzo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno tutti i lati congruenti, allora tali triangoli sono congruenti.