a lezione ci è stato dimostrato questo teorema per il caso del sup ( in modo simile a come ho provato io per il caso dell'inf) tranne che ho qualche dubbio...
Nel caso del sup viene detto: per ogni x in (a,x0) si ha che f(x)<f(x0) e dunque supf(x)<=f(x0) finito.
La mia dimostrazione può andare bene usando b?
Grazie
50
punti
Livello 0
Ciao,
Si la dimostrazione è corretta.
Riporto comunque la dimostrazione del corollario:
Se f è crescente nell’intorno destro $I^{+}(x_{0})$ di $x_{0}$ allora:
$\lim_{x_{0}^{+}}f(x)$ = $inf${$f(x) : x ∈ I^{+}(x_{0}), x > x_{0}$}
Incominciamo:
Sia $l$ = $inf$ {$f(x) : x ∈ I^{+}(x_{0}), x > x_{0}$} ∈ $R$
Le condizioni che caratterizzano un estremo inferiore sono le seguenti:
1) per ogni $x ∈ I^{+}(x_{0})$ \ {$x_{0}$}, $f(x) ≥ l$
2) per ogni $ε > 0$ esiste un elemento $x_{ε} ∈ I^{+}(x_{0})$\{$x_{0}$} tale che $f(x_{ε}) < l + ε$
Per la monotonia della funzione abbiamo che:
$f(x) ≤ f(x_{ε}), ∀x ∈ I^{+}(x_{0}) \ {x_{0}}, x < x_{ε}$
Per cui:
$l − ε < l ≤ f(x) < l + ε , ∀x ∈ I^{+}(x_{0})$ \ {$x_{0}$}, $x < x_{ε}$
dunque ogni $f(x)$ appartiene all’intorno di $l$ di raggio ε se $x\neq x_{0}$ appartiene all’intorno destro di $x_{0}$ di estremo superiore $x_{ε}$
Pertanto è verificata la condizione:
$\lim_{x_{0}^{+}}f(x) = l$
640
punti
Livello 1
@alessandro_fadda il mio dubbio è il fatto che b non appartiene al Dominio e dunque non so come dire che inf f(x) sia finito perché f(b) non è detto che esista
Mmm... non sono d'accordo che inf $f(x)$ sia per forza finito. Prova ragionarci.
Io pensavo che con finito intendessi che avevi terminato la dimostrazione ?
Se non ci riesci scrivi che ti mando la dimostrazione.
@alessandro_fadda se mi mandassi la dimostrazione mi faresti un favore.
tuttavia però da come è stato enunciato il teorema a lezione viene riportato che dato f:(a,b)->R monotona crescente allora esistono finiti
lim_(x->x0^-) f(x)=sup f(x) con a<x<x0
lim_(x->x0^+) f(x)=inf f(x) con x0<x<b
grazie
@alessandro_fadda e non riesco a dimostrare il secondo limite. il primo è stato fatta a lezione e io ho cercato di seguire lo stesso metodo ma non sono sicuro, perchè nel primo limite a lezione si dice che per ogni x in (a,x0) si ha f(x)<f(x0) e risulta che il supf(x)<=f(x0) finito(nel senso di valore finito).
ma come faccio per il secondo limite?
