La somma $1+2+3+4+5+6$ può essere scritta, utilizzando la proprietà commutativa, come $(1+6)+(2+5)+(3+4)$. In questo modo si ottengono tre addendi tutti uguali tra loro. Il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, usando la precedente osservazione, dimostrò da bambino che, se $n$ è un numero pari, allora:
$$
1+2+\ldots+n=(n+1) \frac{n}{2} .
$$
Dimostra che, se $n$ è multiplo di 4 ma non di 8 , allora $\sqrt{1+2+\ldots+n}$ è un numero irrazionale.
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Livello 0
te lo imposto, come credo debba essere risolto:
il tuo numero $n$ è del tipo $n=4(2k+1)$ con $k$ appartenente ai naturali.
se prendi $k=1$ ottieni $n=12$
per $k=2$ hai $n=20$ e così via, saltando sempre i multipli di 8.
Quindi sotto radice hai
$somma=(n+1)\frac{n}{2}=(8k+5)*2*(2k+1)$
quindi hai
$\sqrt{(8k+5)*2*(2k+1)}=\sqrt{8k+5}\sqrt{2}\sqrt{2k+1}$
sia $8k+5$ che $2k+1$ sono dispari e volendo possono essere quadrati perfetti. anche supponendo che lo siano entrambi, ti resta sempre il $\sqrt{2}$ che ti rende il tutto irrazionale.
se non sono quadrati perfetti, sono multipli di numeri primi, e a maggior ragione il risultato è un irrazionale
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Livello 9
