Dimostrazione per induzione

@gabo formalmente mi sembra corretto dato che la soluzione finale funziona ed è espressa secondo la legge ipotizzata. Attenzione al giorno della vigilia di natale però 😉 

@rebc mi hai ricordato questo simpatico esempio di induzione che avevo sentito per la prima volta durante un corso di epistemologia, non sapevo che fosse di Russel però. Ho una dimostrazione più dettagliata e ragionata di questa qui, ho inviato sia questa che un'altra ad un ragazzo, che ha rifiutato la dimostrazione perché non conteneva abbastanza simboli matematici e perché l'uso delle parole invalida il rigore della dimostrazione. Credo che questo sia fondamentalmente assurdo, è come dire che l'opinione di una persona è sbagliata a priori perché non parla francese. Ho voluto dimostrarla per induzione perché mi ha detto che le cose in matematica si dimostrano per assurdo, per induzione o per costruzione (mi sembra un po' restrittivo ma l'ho assecondato). Poi, molto comicamente, mi ha contestato l'uso del principio di induzione in questo modo e ha letteralmente inviato una dimostrazione in cui diceva le stesse cose e faceva gli stessi calcoli senza usare parole. Si faceva forte del fatto di aver superato l'esame di Analisi 1 e questo conseguimento gli concedeva una superiorità di pensiero, per cui non importa quanto gli spiegassi che stessimo dicendo la stessa cosa, lui aveva ragione perché aveva fatto Analisi 1 (come se superare l'esame di Analisi 1 fosse un traguardo raggiunto dall'élite degli studenti di matematica). Se per te non è un problema ti condivido anche la dimostrazione in PDF che contiene il ragionamento che ho fatto per arrivare a questa formula, come dicevo prima l'induzione è stato solo un mezzo che ho usato per dimostrarla.

@gabo va bene, anche se non so quando riuscirò a leggerlo, probabilmente domani o dopodomani. Prima stavo lavorando su un quesito che mi ha completamente assorbita e non mi ha lasciato il tempo di finire gli esercizi di Informatica Generale e Analisi II come avevo programmato… succede quando un problema sembra interessante...

Comunque, almeno la parte che hai condiviso mi sembra corretta e sufficientemente rigorosa per un corso di Analisi I (nei manuali ho visto di peggio), al limite specificherei meglio le costanti utilizzate definendo l'insieme di appartenenza per specificare che sono funzioni parziali. Se il ragazzo vuole essere pignolo, allora dovrebbe dimostrare tutto a partire dai principi della logica, usando almeno gli assiomi di Peano. Tra l’altro, lì il principio di induzione è già validato, quindi non serve neanche giustificarlo.

In matematica, la dimostrazione è solo uno (scusate logici...) strumento per affermare la veridicità di una proposizione e, come tale, questa deve essere rigorosa fino a un certo punto. Se si vuole essere troppo pedanti, le dimostrazioni diventerebbero chilometriche (vedi, per esempio, i Principia Mathematica di Russell, dove nella dimostrazione “marginale” di 1+1=2 servono pagine e pagine antecedenti di giustificazioni ). Nessun docente di Analisi richiederebbe mai dimostrazioni così estese: normalmente si parte da appigli già consolidati o dati dal corso. Inoltre, l’induzione viene considerata come assioma o principio derivato dal buon ordinamento dei naturali, quindi è perfettamente lecito usarla così com’è.

Magari mi sbaglio dato che parlo dall' "alto" del mio secondo anno di corso di laurea triennale in matematica, ma fino ad ora è sempre stato così negli insegnamenti che ho frequentato (Analisi I, Algebra Lineare, lingua inglese se vuoi contarla, Laboratorio di Programmazione e Calcolo, Geometria I, Elementi di Analisi Reale, Probabilità I e adesso Analisi II, Informatica Generale, Algebra I e Fisica I). 

@rebc mi trovi d'accordo, in realtà la tesi del mio interlocutore sostanzialmente può essere riassunta come: "se una dimostrazione non contiene un certo numero di simboli matematici ed eccede un certo numero di parole, allora la dimostrazione non ha valenza logica". Chiaramente la pedanteria in un problema semplice e dilettevole come questo lascia il tempo che trova. La cosa che mi lasciava più esterrefatto era la sua dimostrazione "valida" perché priva di parole, e il suo pavoneggiarsi per aver superato Analisi I come se avesse vinto il premio Abel. Capisco che sei parecchio impegnata, quindi non ti farò perdere tempo con le mie quisquilie, grazie mille per la disponibilità comunque.