Buongiorno a tutti, qualcuno potrebbe gentilmente mostrarmi la dimostrazione di questo risultato:
Buongiorno a tutti, qualcuno potrebbe gentilmente mostrarmi la dimostrazione di questo risultato:
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Livello 0
Per definizione di limite, fissato e > 0 e per il resto qualsiasi, si può trovare un
n_e tale che se n > n_e
| a(n+1)/a(n) - h | < e
h - e < a(n+1)/a(n) < h + e
ovvero 0 < a(n+1)/a(n) < h + e
Se ora si ricorda che a(n) è positivo e si pone e < 1 - h
( sempre possibile se h < 1 come nell'ipotesi )
0 < a(n+1) < (h + e) a(n) = b a(n) con b = h + e < 1
la successione è quindi definitivamente maggiorata
da c(n) =
{ a(n) fino a n_e
{ a(n_e) b^(n - n_e) per n > n_e
la quale, essendo b < 1, è infinitesima.
Per il Teorema dei Carabinieri allora risulta
lim_n->oo a(n+1) = 0 e da qui la tesi considerando che a(n) è positivo
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Livello 6
Ciao, intanto ti volevo ringraziare per la risposta e poi se possibile ti volevo chiedere anche dei chiarimenti perché ho capito fino al punto in cui imponi b= h+e<1 poi però dalla riga successiva non mi è ben chiaro come fai a giungere alla tesi.
Si tratta del fatto che a partire da un certo n in poi la successione è maggiorata da una esponenziale ( geometrica ) con ragione minore di 1 e quindi convergente a 0 quando n ->oo. Rileggi i passaggi. La successione originaria è quindi ristretta fra due successioni con limite 0 e il suo limite è a sua volta zero.