Dimostrazione geometria

Per costruzione $\overline{AE} \cong \overline{BF} \cong \overline{CG} \cong \overline{DH}$ e $\overline{AB} \cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{DA}$, poniamo che $\overline{AE}=x$ e $\overline{AB} = \ell$.

Ogni coppia di punti individuati su segmenti consecutivi forma un triangolo rettangolo, perché l'angolo su ogni vertice del quadrato è retto per costruzione. I cateti di ciascun triangolo rettangolo si trovano su lati consecutivi del quadrato, e sono sempre $(x, \ell -x)$, quindi l'ipotenusa è sempre $L=\sqrt{2x^2+\ell^2-2x\ell}$ (teorema di Pitagora). Resta da dimostrare che gli angoli interni del quadrilatero $EFGH$ sono retti, ma ciò è semplice da dimostrare osservando gli angoli esterni. Dal momento che tutti i triangoli hanno gli stessi lati, sono congruenti per il terzo criterio, quindi anche gli angoli interni sono congruenti. La terna di angoli di ciascun triangolo è $(\alpha, 90^{\circ}, \beta)$, ma $\alpha+\beta +90^{\circ}=180^{\circ} \implies \beta = 90^{\circ} - \alpha$ (la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180^{\circ}$). Consideriamo ora l'angolo $\widehat{AEB}$, un angolo piatto perché definito da tre punti allineati. Notiamo che $\widehat{AEB}=\alpha + \beta + \widehat{HEF}$, quindi possiamo dire che $\alpha + 90 -\alpha + \widehat{HEF} = 180^{\circ} \implies \widehat{HEF} = 90^{\circ}$, per ragioni di simmetria tutti gli altri angoli sono retti. Abbiamo dimostrato che $EFGH$, se costruito come indicato nel problema, è un quadrilatero con tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti, un quadrilatero con queste caratteristiche si chiama quadrato.

α + β = 90°

γ = 180° - (α + β) = 90°;

il quadrilatero EFGH ha gli angoli che misurano 90°; è sicuramente un rettangolo;

Per essere un quadrato, i lati devono essere congruenti.

Ha i quattro lati congruenti:

sono le ipotenuse dei quattro triangoli rettangoli AEH, EBF, FCG, GDH;

i quattro triangoli sono congruenti perché hanno due lati e l'angolo retto compreso congruenti.

il quadrilatero EFGH è un quadrato.

@archi90  ciao.