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[Risolto] Dimostrazione geometria

  

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Sia $A B C$ un triangolo. Traccia l'altezza $C H$ e la retta $r$ perpendicolare al lato $A C$, passante per $C$. La bisettrice dell'angolo $B \widehat{A} C$ incontra $C H$ nel punto $D$ e la retta $r$ nel punto $E$.
a. Dimostra che il triangolo $C D E$ è isoscele sulla base $D E$.
b. Determina quale deve essere l'ampiezza dell'angolo $B \widehat{A C}$ affinché in triangolo $C D E$ risulti equilatero.

Buonasera, potreste aiutarmi a risolvere questo problema di geometria tramite dimostrazione in cui si applica il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo.

Grazie mille

20230321 174418

 

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IPOTESI

1) CH $\perp$ AB

2) CE $\perp$ AC

3) AD bisettrice

 

DIM

Considera il triangolo CAE, rettangolo in C per ipotesi 2. Per la somma degli angoli interni, possiamo dire che:

$ CEA = 90 - CAE$

Consideriamo ora il triangolo ADH, rettangolo in H per ipotesi 1. Come prima possiamo dire che:

$ ADH = 90 - DAH$

Chiaramente l'angolo CDE=ADH perché opposti al vertice. Sfruttando l'ipotesi 3, per cui DAH=CAE, possiamo dire che CEA=ADH=CDE e dunque il triangolo CDE è isoscele sulla base DE.

--

Affinché CDE sia equilatero, l'angolo CDE dev'essere di 60° (come tutti gli altri).

Dunque anche ADH=60 e per quanto detto prima:

$ DAH = 90 - ADH = 90 - 60 = 30$

Ma allora 

$ BAC = 2*DAH = 60$

 

Noemi

 



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SOS Matematica

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