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[Risolto] Dimostrazione geometria

  

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Sia $A B C$ un triangolo rettangolo di ipotenusa $A B$. Traccia la retta passante per il vertice $A$ perpendicolare ad $A B$ e indica con $D$ il suo punto di intersezione con la retta $B C$. Traccia quindi la bisettrice dell'angolo $A \widehat{D} B$ e indica con $E$ (ii) suo punto di intersezione con $A C$ e con $F$ il suo punto di intersezione con $A B$. Dimostra che il triangolo $A F E$ è isoscele sulla base $E F$.
(Suggerimento: indica con $\alpha$ l'ampiezza di $A \widehat{D} B$ ed esprimi in funzione di $\alpha$ le ampiezze degli angoli del triangolo $A F E$ )

 

Buonasera, potreste aiutarmi a risolvere questo problema di geometria tramite dimostrazione in cui si applica il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo.

Grazie mille

20230321 164855

 

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Come suggerito dal testo, indichiamo con $\alpha$ l'angolo ADB. Notiamo che $\alpha$ è tagliato in due parti uguali dalla bisettrice DF, che quindi saranno $\alpha/2$.

Consideriamo il triangolo AFD che è rettangolo in DAF, dato che la retta AD è perpendicolare ad AB per ipotesi.

Per la somma degli angoli interni, l'angolo AFE è dato da:

$AFE = 180 - ADF - DAF = 180 - \alpha/2 - 90 = 90 - \alpha/2$.

Consideriamo ora il triangolo DEC, anch'esso rettangolo in C dato che per ipotesi il triangolo ABC è rettangolo con C angolo retto.

Per la somma degli angoli interni:

$DEC = 180 - EDC - DCE = 180 - \alpha/2 - 90 = 90-\alpha/2$

D'altra parte l'angolo DEC è opposto al vertice di AEF, dunque anche $AEF = 90 -\alpha/2$.

Poiché dunque risulta che:

$AFE = AEF = 90-\alpha/2$

il triangolo AFE ha due angoli congruenti e dunque è isoscele.

 

Noemi 

Immagine 2023 03 21 165844

@n_f grazie mille 😊

 

@n_f ma una domanda ABC non doveva essere un triangolo rettangolo? Grazie



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