[Risolto] DIMOSTRAZIONE GEOMETRIA 10

L'angolo CAD è esterno al triangolo isoscele dato ABC, quindi ha un valore pari al doppio degli angoli alla base del triangolo isoscele su menzionato. D'altra parte anche il triangolo ACD è isoscele per costruzione.

Quindi AH=altezza del triangolo isoscele ACD= bisettrice triangolo ACD stesso.

Quindi, essendo l'angolo al vertice di tale triangolo pari alla somma degli angoli alla base di ABC, ne consegue che: vedi figura

AH//BC in quanto le rette loro appartenenti, tagliate dalla trasversale AC, formano angoli alterni interni uguali per quanto testé detto!

Per dimostrare che il triangolo AHC è congruente al triangolo ABK, basta osservare che il triangolo ABK è congruente al triangolo AKC per costruzione. Ma quest'ultimo triangolo cioè AKC è rettangolo come AHC. Per questi due triangoli rettangoli possiamo dire siano congruenti perché hanno ipotenusa in comune ed i due angoli detti sopra (gli angoli acuti osservabili nella figura riportata sotto) uguali.

Quindi per la proprietà transitiva devono essere congruenti pure i triangoli AHC e ABK C.V.D.

DAH e DBC sono simili in quanto :

#angoli dAh e dBc uguali per costruzione 

# angolo bDc in comune 

.....in particolare:

# angolo aHd uguale ad angolo bCd 

# AH = BC/2 = BK = CK (ABC isoscele ed AK è la sua altezza che divide BC in due parti uguali)

# DC è parallela ad AK ed AHCK è un rettangolo , col che ACH = ACK = ABK 

Per dimostrare che  BC è parallelo ad AH basta osservare che ABK  è simile a DBC (due lati in prop. 2:1 e l'angolo compreso in comune ---> 1° crit.) quindi CD parallelo a AK nel rapporto 2:1 , inoltre AHD è  congruo  ABK (angolo in D^ corrispondente a BA^K  compreso tra due lati , AB = AD per costruz. e  DH = AK  perchè AH è mediana di CAD, uguali  ---> 1° crit) {CAD è  isoscele per costruz. e AH è mediana bisettrice e altezza} pertanto AB^C e DA^H sono uguali e quindi corrispondenti.

La seconda parte è immediata osservando AKCH è un rettangolo {di cui AC è la diagonale che lo divide in due parti congrue} e ABK è congruo sia a AKC {ABC è isoscele} che a ACH {congruo a AKC  che è metà rettangolo}  .