Esercizio Dimostrare, verificando la definizione di limite, che:
(1) $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{n^2+n+1}=+\infty$;
(2) $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^2-3 n-5}{-2 n}=-\infty$.
Ciao, potreste aiutarmi a capire come si svolgono questi esercizi??
Grazie!
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Livello 0
Il regolamento prevede una sola domanda per post. Risponderò alla prima, leggiti il regolamento ed eventualmente ri-domanda la seconda.
La definizione di limite per questo caso dice che;
$ \forall M \gt 0 \in \mathbb{R} \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \quad | \quad \forall n \gt n_0 \quad \text{si ha} \quad a_n > M $
Come per tutte le dimostrazioni di questo tipo si parte dall'ultima disequazione e si trova un n₀.
$ a_n \gt M $
$ \sqrt{n^2+n+1} \gt M $
$ n^2+n+1 \gt M^2 $
$ n^2+n+1 - M^2 \gt 0 \; ⇒ \; n < \frac {-1-\sqrt{M^2-3}}{2} \; \lor \; n > \frac {-1+\sqrt{M^2-3}}{2} $
Scartiamo la soluzione negativa rimane
$n > \frac {-1+\sqrt{M^2-3}}{2} $
questo è un candidato per $n_0$ ma ha un difetto capitale, non è detto sia un numero naturale.
Scegliamo la sua parte intera superiore, cioè il prossimo numero naturale.
$ n_0 = \lceil \frac {-1+\sqrt{M^2-3}}{2} \rceil $
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Livello 6
