Internamente al quadrato ABCD, di lato di misura a, si disegni la semicirconferenza di diametro AB e su di essa si consideri un punto P. Si determini l'ampiezza dell'angolo PAB in modo che la somma dei quadrati delle distanze di P dai vertici D e C siano a^2.
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Livello 0
C'è una soluzione lunga e una corta.
In quella lunga si pone PA^B = x, si ricavano AP = a cosx e PB = a senx; si deduce anche che:
DA^P = 90° - x = AB^P e quindi
PB^C = x
Quindi si utilizza il teorema di Carnot per esprimere PD^2 e PC^2, giungendo a:
3a^2 - 2a^2 sen(2x) = a^2, da cui:
sen(2x) = 1
2x = TT/2
x = TT/4.
Nella soluzione corta si ragiona sulla condizione:
PD^2 + PC^2 = a^2 = DC^2
fa venire in mente il teorema di Pitagora applicato al triangolo DPC. Ma allora l'angolo DP^C deve essere di TT/2. Per un teorema sugli angoli alla circonferenza P si deve trovare sulla circonferenza di diametro DC. Ma P deve appartenere anche alla circonferenza di diametro AB. Allora P deve trovarsi sui punti comuni alle due circonferenze, cioè sull'unico possibile che si trova nel centro del quadrato, che è il punto comune alle due diagonali del quadrato. Dunque PA^B deve essere = TT/4.
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Livello 2
E una brevissima: per ispezione.
Ti basta fare un bel disegno in iscala per VEDERE letteralmente che l'unica possibile aoluzione è il culmine della semicirconferenza cioè il centro del quadrato, vertice di un quadrato che ha il segmento CD come diagonale.
Per qualsiasi altro punto si ha
* |PC|^2 + |PD|^2 > a^2
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