[Risolto] Dimostrazione decrescenza funzione

Ciao Federica,

Poiché il denominatore non si annulla mai, il dominio è $D: \mathbb{R}$.

Una funzione è decrescente se $x_1\lt x_2 \Rightarrow f(x_1)\gt f(x_2)$. Nel nostro caso si ha:

$x_1\lt x_2\rightarrow 4^{x_1}\lt4^{x_2}$

$4^{x_1}+8\lt 4^{x_1}+8\rightarrow \frac{1}{4^{x_1}+8} \gt \frac{1}{4^{x_2}+8}$

Quindi la funzione è decrescente.

Ciao!

Per dimostrare che una funzione è decrescente si può calcolare la sua derivata e studiarne il segno.

Il dominio è $ 4^x + 8 \neq 0 \ \rightarrow 4^x \neq -8 $ che è sempre verificato, quindi $D = \mathbb{R}$.

Deriviamo:

$\frac{0 \cdot (4^x+8) - 1 \cdot (4^x)}{(4^x+8)^2} = -\frac{4^x}{(4^x+8)^2}$

studiamone il segno: $-\frac{4^x}{(4^x+8)^2} > 0 $

numeratore: $-4^x > 0 \ \rightarrow 4^x < 0 $ mai verificato
denominatore: $(4^x+8)^2 > 0 $ sempre verificato.

Quindi, dato che il numeratore è sempre negativo e il denominatore è sempre positivo, la funzione ha derivata sempre negativa quindi è sempre decrescente.