Dimostrazione Cauchy - Shwarz

Ti lascio la dimostrazione (in realtà sono due, la prima è la più semplice e concisa; tra l'altro è la generalizzazione di quella fornita da Eidos) del caso generale perché ce l'ho già pronta. L'idea è considerare l'espressione quadratica come una specie di parabola, poiché essa è semidefinita positiva (≥) si ha necessariamente che il delta è minore uguale a 0 (riprendendo l'esempio della parabola rivolta verso l'alto, interseca una sola volta l'asse delle ascisse o non lo interseca mai).

Per decifrare la dimostrazione considera il prodotto scalare standard, quindi $$⟨a,b⟩=\sum_{i=1}^n a_ib_i$$.

La prima assunzione viene dal fatto che per definizione, in astratto, il prodotto scalare è definito positivo (>). Credo di aver chiarito le parti più oscure, se hai dubbi chiedi 😉 . 

Qui sono presenti le definizioni formali:

Quest'altra dimostrazione, la quale richiede meno nozioni geometriche, viene dalle dispense del corso di elementi di analisi reale:

Come puoi vedere quella fornita da Eidos è la più comoda nello studio dacché breve e semplice; anche le altre sono interessanti dato che legano molti concetti interessanti relativi agli spazi metrici. Quando avrò tempo proverò a dimostrarla per induzione, ma onestamente non riesco a capire ad occhio se se ne potrà uscire indenni.