Dimostrazione

@Ada

@ada

Ciao.

Ti devi ricordare il Teorema di Ruffini che è un caso particolare della Regola del Resto.

Quindi procedi nel modo seguente. Fattorizza il trinomio :

x^2-3bx-10b^2=(x-5b)(x+2b)

(ad esempio con Somma Prodotto:

S=-3b ; P=-10b^2——>-5b;+2b)

Quindi vai a sostituire x=5b nel polinomio dato:

P(x=5b)=(5b)^3+(2-3b)*(5b)^2-2b*(3+5b)*(5b)-20b^2=

=125b^3+50b^2-75b^3-30b^2-50b^3-20b^2=0*b^3+0b^2=0

P è divisibile per (x-5b)

Nello stesso identico modo verifichi che:

P(x=-2b)=0

quindi dimostri anche la divisibilità di P per (x+2b)

Ne consegue quindi che P è divisibile per il trinomio di secondo grado dato.

Se le lettere x e b denotano valori reali, allora il polinomio
* p(x) = x^3 + (2 - 3*b)*x^2 - 2*b*(3 + 5*b)*x - 20*b^2
essendo di grado dispari ha almeno uno zero reale e inoltre
essendo monico, se ha zeri razionali, li ha fra i divisori del termine noto
* {- 20*b^2, - 20*b, - 20, - 10*b^2, - 10*b, - 10, - 5*b^2, - 5*b, - 5, - 4*b^2, - 4*b, - 4, - 2*b^2, - 2*b, - 2, - b^2, - b, - 1, 1, b, b^2, 2, 2*b, 2*b^2, 4, 4*b, 4*b^2, 5, 5*b, 5*b^2, 10, 10*b, 10*b^2, 20, 20*b, 20*b^2}
Le 36 valutazioni della forma di Ruffini-Horner
* p(x) = ((x + (2 - 3*b))*x - 2*b*(3 + 5*b))*x - 20*b^2
si delegano a un apposito software di calcolo simbolico che, dopo manovre che qui non riporto, individua
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7Bx%2C%28%28x--%282-3*b%29%29*x-2*b*%283--5*b%29%29*x-20*b%5E2%7D%2C%7Bx%2C%7B-2*b%2C-2%2C5*b%7D%7D%5D
i tre zeri
* p(- 2*b) = - 20*b^2 - 2*b*(- 2*(2 - 5*b)*b - 2*b*(3 + 5*b)) = 0
* p(- 2) = - 20*b^2 - 2*(6*b - 2*b*(3 + 5*b)) = 0
* p(5*b) = - 20*b^2 + 5*b*(5*b*(2 + 2*b) - 2*b*(3 + 5*b)) = 0
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La scomposizione
* p(x) = x^3 + (2 - 3*b)*x^2 - 2*b*(3 + 5*b)*x - 20*b^2 =
= (x + 2*b)*(x + 2)*(x - 5*b)
così ottenuta è ovviamente valida come scrittura formale, anche per valori irrazionali di b, o addirittura per (x, b) non reali, ma puri simboli.
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Ottenere l'analoga scomposizione
* q(x) = x^2 - 3*b*x - 10*b^2 = (x + 2*b)*(x - 5*b)
completa, senza eseguire la divisione, la dimostrazione richiesta
* p(x) = (x + 2)*q(x)