[Risolto] Determinare i punti di discontinuità specificando La specie E gli asintoti delle seguenti funzioni

Ciao!

Prima funzione:

$f(x) = \frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} $

Dominio: $2 x^2-2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq \pm 1 $

Quindi i punti di discontinuità sono $x= \pm 1 $

Discontinuità: per capire che tipo di discontinuità sono dobbiamo fare il limite a destra e a sinistra di questi valori:

$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} $

è utile sempre scomporre quando si ha a che fare con limiti di polinomi:

$ = \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} = \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{(x-1)(4x-5)}{2(x-1)(x+1)} =$ 

$= \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{4x-5}{2(x+1)} = \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{-1}{4} = -\frac14 $ 

Analogamente per il limite a sinistra, che fa: $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} = -\frac14$

Quindi $x = 1$ è un punto di discontinuità di terza specie perché i limiti a destra e a sinistra sono uguali tra loro, ma diversi dal valore della funzione nel punto.

Allo stesso modo facciamo con $x = -1$

$\lim_{x \rightarrow -1^+}\frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} = \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac{(x-1)(4x-5)}{2(x-1)(x+1)} = $ 

$= \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac{-2 \cdot -1}{2\cdot -2 \cdot 0^+} = \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac{2}{-4\cdot 0^+} =$ 

$= \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac{1}{-2\cdot 0^+} = \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac{1}{0^-} = - \infty $

E

$\lim_{x \rightarrow -1^-}\frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} = \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac{(x-1)(4x-5)}{2(x-1)(x+1)} = $ 

$= \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac{-2 \cdot -1}{2\cdot -2 \cdot 0^-} = \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac{2}{-4\cdot 0^-} =$ 

$= \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac{1}{-2\cdot 0^-} = \lim_{x \rightarrow -1^-}\frac{1}{0^+} =+ \infty $

Quindi $x = -1$ è un punto di discontinuità di seconda specie, cioè è un asintoto verticale.

Per scoprire altri asintoti (quindi orizzontale o obliquo) facciamo i limiti per $x \rightarrow \pm \infty$

$\lim_{x \rightarrow + \infty } f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} =$

raccogliamo il grado massimo perché abbiamo una forma di indecisione $\frac{\infty}{\infty}$: 

$= lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^2(4-\frac{9}{x}+\frac{5}{x^2})}{x^2(2-\frac{2}{x^2}} = lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{4}{2} = 2 $

E

$\lim_{x \rightarrow - \infty } f(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{4x^2-9x+5}{2x^2-2} =$

raccogliamo il grado massimo perché abbiamo una forma di indecisione $\frac{\infty}{\infty}$: 

$= lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x^2(4-\frac{9}{x}+\frac{5}{x^2})}{x^2(2-\frac{2}{x^2})} = lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{4}{2} = 2 $

Quindi $ y = 2$ è un asintoto orizzontale.

Allo stesso modo facciamo per la seconda funzione:

$f(x) = \frac{3x^2-4x+1}{4+2x} $

Dominio: $x \neq -2$

Discontinuità:
$\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^+}{3\cdot 4 -4(-2) +1}{4-4^+} = $

$= \lim_{x \rightarrow -2^+}{21}{0^-} = - \infty $

E

$\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^-}{3\cdot 4 -4(-2) +1}{4-4^-} = $

$= \lim_{x \rightarrow -2^-}{21}{0^+} = + \infty $

Quindi $ x = -2$ è un asintoto verticale, e discontinuità di seconda specie.

Per l'asintoto orizzontale/obliquo:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty }\frac{x^2(3-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{x(\frac{4}{x}+2)} = $

$= \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{3x}{2 } = + \infty $

E

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{x^2(3-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{x(\frac{4}{x}+2)} = $

$= \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{3x}{2 } = - \infty $

Quindi non c'è asintoto orizzontale. Potrebbe esserci asintoto obliquo. Vediamo se esiste il suo coefficiente angolare calcolando $m = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} $

Usiamo già la forma di $f(x)$ dove abbiamo raccolto il grado massimo per velocizzare i conti:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \rightarrow +\infty }\frac{x^2(3-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{x(\frac{4}{x}+2)}\frac{1}{x} = $

$= \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{3x}{2x } = \frac32$

E lo stesso succede se $ x \rightarrow - \infty $ (puoi verificarlo facilmente)

Quindi il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo è $m = \frac32$

Calcoliamo $q = \lim_{x \rightarrow \infty} \big[ f(x)-mx \big] $

$\lim_{x \rightarrow +\infty}  \frac{3x^2-4x+1}{4+2x} - \frac32 x = \lim_{x \rightarrow +\infty}  \frac{3x^2-4x+1-3(x+2)x}{4+2x} = $

$\lim_{x \rightarrow +\infty}  \frac{3x^2-4x+1-3x^2 -6x }{4+2x}= \lim_{x \rightarrow +\infty}  \frac{-10x+1}{4+2x} =  \frac{-10}{2} = -5 $

dove l'ultimo passaggio si fa sempre raccogliendo il grado massimo.

Lo stesso limite si ha se $ x \rightarrow - \infty $ (puoi verificarlo facilmente)

Quindi l'asintoto obliquo è $ y = mx+q$ cioè $ y = \frac32 x -5 $