[Risolto] Determinare equazione retta tangente

A) Riscrivere l'equazione della parabola Γ dalla forma "x esplicita" data alla forma normale canonica
* Γ ≡ x + y^2 - 3*y + 2 = 0
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B) Applicare le formule di sdoppiamento rispetto al polo P(2, 0)
* (2 + x)/2 + 0*y - 3*(0 + y)/2 + 2 = 0 ≡
≡ p ≡ y = x/3 + 2
ottenendo la retta polare p di P rispetto a Γ che ha in comune con Γ tutti e soli gli eventuali punti di tangenza delle tangenti a Γ per P, se esistono.
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C) Calcolare i punti di tangenza
* p & Γ ≡ (y = x/3 + 2) & (x + y^2 - 3*y + 2 = 0) ≡
≡ T1(- 12, - 2) oppure T2(0, 2)
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D) Calcolare le tangenti
* t1 ≡ PT1 ≡ y = (x - 2)/7
* t2 ≡ PT2 ≡ y = 2 - x
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E) Verificare
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B2-3*y%3D-x-y%5E2%2Cx%5E3-9*y*x%5E2-12*x*y-20*x-78*y%5E2%3D-2*x%5E2-11*x*y%5E2-21*y%5E3-60*y-24%5D

@luca1245

Ciao. Il punto di coordinate P(2,0), è esterno alla parabola ad asse orizzontale data. Quindi sono da scartare le formule di sdoppiamento. Procediamo con il metodo classico:

{x = - y^2 + 3·y - 2

{y = m·(x - 2)

Procediamo con la sostituzione:

y = m·x - 2·m------> x = - (m·x - 2·m)^2 + 3·(m·x - 2·m) - 2

x = (- m^2·x^2 + 4·m^2·x - 4·m^2) + (3·m·x - 6·m) - 2

m^2·x^2 - x·(4·m^2 + 3·m - 1) + 4·m^2 + 6·m + 2=0

Applico le condizioni di tangenza:

Δ = 0

(4·m^2 + 3·m - 1)^2 - 4·m^2·(4·m^2 + 6·m + 2) = 0 fai tu i calcoli!

- 7·m^2 - 6·m + 1 = 0

(m + 1)·(1 - 7·m) = 0

m = 1/7 ∨ m = -1

Le rette tangenti sono:

y = x/7 - 2/7

y = 2 - x