Determina le rette tangenti all'ellisse di equazione 4x*2+y*2=1 E parallele alla retta di equazione y=2x

Io invece ti propongo una soluzione basata sulla geometria proiettiva e sul concetto di polare di un punto rispetto ad una conica. La retta $y=2x$ individua un punto all'infinito che in coordinate omogenee è $P_{\infty}=(1,2,0)$, mentre la matrice rappresentante la conica è:

$A=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

la retta polare del nostro punto all'infinito seca la conica nei punti di tangenza delle rette parallele alla retta $y=2x$

la retta polare si calcola come:

$[1,2,0] \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}$

che restituisce la retta:

$y=-2x$

Intersecando tale retta con l'ellisse data si trovano i punti di tangenza:

$\begin{cases} 4x^2+y^2 &= 1 \\ y  = -2x \end{cases}$

ovvero

$8x^2=1$ e quindi $x_1=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ e $x_2=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

sostituendo nell'equazione della retta $y=-2x$ si trovano i punti di tangenza:

$P_1=(\frac{1}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$

$P_2=(-\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

adesso si prende il fascio di rette contenente la retta data $y=2x$, ovvero $y=2x+q$, si impone la condizione che queste rette passino per $P_1$ e per $P_2$ e si trova, rispettivamente:

$y=2x+\sqrt{2}$

$y=2x-\sqrt{2}$

Il fascio delle parallele di pendenza due è
* r(q) ≡ y = 2*x + q
fra di esse le due tangenti l'ellisse
* Γ ≡ 4*x^2 + y^2 = 1
sono quelle il cui parametro annulla il discriminante della risolvente del sistema
* r(q) & Γ ≡ (y = 2*x + q) & (4*x^2 + y^2 = 1)
con risolvente
* 4*x^2 + (2*x + q)^2 - 1 = 0
che ha il discriminante
* Δ(q) = - 16*(q^2 - 2)
che s'azzera per
* q = ± √2
Quindi le tangenti richieste sono
* r(- √2) ≡ y = 2*x - √2
* r(+ √2) ≡ y = 2*x + √2
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B4*x%5E2--y%5E2%3D1%2C%282*x-%E2%88%9A2-y%29*%282*x--%E2%88%9A2-y%29%3D0%5D