avrei bisogno di aiuto… è un esercizio di riepilogo mi chiede di usare o Rolle o Lagrange o Cauchy
avrei bisogno di aiuto… è un esercizio di riepilogo mi chiede di usare o Rolle o Lagrange o Cauchy
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Livello 1
Nell'intervallo [2;3]
possiamo liberare il modulo (in tale intervallo è superfluo) e scrivere:
LN(x - 1) - 1/(x - 1) = 0
Il primo membro è funzione: y = LN(x - 1) - 1/(x - 1)
definita e continua su tutto l'intervallo, inoltre ha per derivata:
y' = x/(x - 1)^2
che risulta strettamente positiva in tutto l'intervallo considerato
Inoltre si ha:
f(2)=-1 <0 ed f(3)=LN(2) - 1/2 = 0.1931471805 >0
Quanto detto ci assicura l'esistenza di una sola radice in [2;3]
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Genius III
@lucianop scusa perché il modulo si trascura?
perché ti trovi in un campo delle x che è >1 (ti trovi in un intervallo con x>1)
Il modulo si può liberare quando il suo argomento è ≥ 0 lasciando inalterato l'argomento stesso.
L'equazione
* ln(|x - 1|) - 1/(x - 1) = 0
è definita ∀ x ∈ R\{1} ed ha per radici le ascisse delle intersezioni fra le due curve
A) y = ln(|x - 1|)
per x > 1 monotòna crescente (y' > 0), negativa per 1 < x < 2 e positiva per x > 2
B) y = 1/(x - 1)
per x > 1 monotòna decrescente (y' > 0), positiva per x > 1
il che dimostra esistenza e unicità dell'intersezione per x > 1.
Vedi http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dln%28x-1%29%2Cy%3D1%2F%28x-1%29%5Dx%3D1to4%2Cy%3D-1to2
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Inoltre, osservando che per x > 1 la si può scrivere come
* (x - 1)*ln(x - 1) = 1
che ha una forma
* ((x - a)*ln(x - a) = b) & (b > 0) ≡ x = a + e^W(b)
che si risolve in termini della funzione W di Lambert, si ha
* (x - 1)*ln(x - 1) = 1 ≡ x = x = 1 + e^W(1) ~= 1097/397 ~= 2.76
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Genius I