Si indichi il dominio della funzione
$$
f(x, y)=\sqrt{4-x^2-y^2}
$$
e si determinino i punti $P=\left(x_0, y_0\right)$ sulla bisettrice del primo e del quadrante tali che $\frac{\partial f}{\partial v}(P)=1$, con $\vec{v}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Chiedo scusa per l'ora. Quando è possibile vorrei un consulto.
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Livello 2
Verifichiamo che il vettore v sia un vettore unitario( versore)
v=[1/√2, 1/√2]----> √((1/√2)^2 + (1/√2)^2) = 1 OK.
Applichiamo il prodotto scalare fra i due vettori gradiente e v (che fornisce il valore della derivata direzionale)
z'x=- x/√(- x^2 - y^2 + 4) ; z'y=- y/√(- x^2 - y^2 + 4)
Deve quindi essere:
[- x/√(- x^2 - y^2 + 4), - y/√(- x^2 - y^2 + 4)]·[1/√2, 1/√2] = 1
posto y=x:
[- x/√(- x^2 - x^2 + 4), - x/√(- x^2 - x^2 + 4)]·[1/√2, 1/√2]=
=[- √2·x/(2·√(2 - x^2)), - √2·x/(2·√(2 - x^2))]·[1/√2, 1/√2]=
=- x/√(2 - x^2)
Quindi deve essere:
- x/√(2 - x^2) = 1
x = -1
Quindi: [-1, -1] è il punto cercato
Verifichiamo in base alla definizione che la derivata direzionale nel punto P(-1,-1) della funzione data rispetto lungo il versore v dato sia pari ad 1.
(definizione)
A numeratore abbiamo come primo addendo:
√(4 - (-1 + t·1/√2)^2 - (-1 + t·1/√2)^2) = √(- t^2 + 2·√2·t + 2)
Come secondo addendo:
√(4 - (-1)^2 - (-1)^2) = √2
Quindi:
LIM((√(- t^2 + 2·√2·t + 2) - √2)/t) = 1 OK
t-- >0
(N.B. : il limite ha la forma indeterminata (0/0) quindi si può sciogliere questa indeterminazione tramite fattore razionalizzante:
(√(- t^2 + 2·√2·t + 2) - √2)·(√(- t^2 + 2·√2·t + 2) + √2)/(t·(√(- t^2 + 2·√2·t + 2) + √2))
(2·√2·t - t^2)/(t·(√(- t^2 + 2·√2·t + 2) + √2))
t·(2·√2 - t)/(t·(√(- t^2 + 2·√2·t + 2) + √2))
(2·√2 - t)/(√(- t^2 + 2·√2·t + 2) + √2)
LIM((2·√2 - t)/(√(- t^2 + 2·√2·t + 2) + √2))=1
t--- > 0
115467
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Genius III
Io i manoscritti non li leggo, perciò il solo consulto che posso offrirti è il mio svolgimento dell'esercizio; però attenzione: io risolvo il problema in base alle sole parole con cui è proposto, senza assolutamente interpretare ciò che l'autore presumibilmente avrebbe voluto intendere.
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1) Il dominio delle funzioni di due variabili è il prodotto cartesiano degl'insiemi da cui esse provengono. Se nella funzione
* f(x, y) = z = √(4 - (x^2 + y^2))
i nomi (x, y) sono, come di solito, quelli di variabili indipendenti reali allora
* dominio: (x, y) ∈ R^2;
* codominio: gli assi cartesiani del piano di Argand-Gauss; in particolare
** per x^2 + y^2 < 4 (l'interno del cerchio), l'asse della parte reale;
** per x^2 + y^2 = 4 (la circonferenza), l'origine;
** per x^2 + y^2 > 4 (l'esterno del cerchio), l'asse della parte immaginaria.
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2) Il gradiente di f(x, y) è
* ∇(√(4 - (x^2 + y^2))) = (- x/√(4 - (x^2 + y^2)), - y/√(4 - (x^2 + y^2)))
e, nella direzione di
* v(1/√2, 1/√2)
la derivata direzionale è il loro prodotto scalare
* ∂f/∂v = (- x/√(4 - (x^2 + y^2)), - y/√(4 - (x^2 + y^2))).(1/√2, 1/√2) =
= - (x + y)/√(2*(4 - (x^2 + y^2)))
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3) Sulla bisettrice ...
* (y = x) & (- (x + y)/√(2*(4 - (x^2 + y^2))) = 1) ≡
≡ (y = x) & (- (x + x)/√(2*(4 - (x^2 + x^2))) = 1) ≡
≡ (y = x) & (- x/√(2 - x^2) = 1) ≡
≡ P(- 1, - 1)
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4) La "continuità" del titolo non è nominata nel testo.
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Genius I
