Derivate

Hai semplificato due volte il 2 ed hai fatto comparire al numeratore LN(x) che non esiste.

y' = 2 ln rad(x^2+4) * 1/rad(x^2 + 4) * 2x/(2 rad(x^2 + 4)) =

= 2x ln rad(x^2 + 4)/(x^2 + 4)

Cosa ci sia di sbagliato nei tuoi calcoli non so dirlo perché ho difficoltà a leggere i manoscritti, specie se microscopici; però posso suggerirti come non sbagliare le derivate: applicando le regole di derivazione una per volta in successione, anche se la cosa è noiosa e comporta di scrivere più righe, almeno fin quando non avrai acquistato maggior sicurezza.
La regola base è
* y = f(u(x)) → dy/dx = (df/du)*du/dx
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a) u = ln(√(x^2 + 4))
* y = ln^2(√(x^2 + 4)) = u^2 →
→ dy/dx = (2*u)*du/dx =
= (2*ln(√(x^2 + 4)))*(d/dx ln(√(x^2 + 4))) =
= (ln(x^2 + 4))*(d/dx ln(√(x^2 + 4)))
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b) u = √(x^2 + 4)
* d/dx ln(√(x^2 + 4)) = (1/u)*du/dx =
= (1/√(x^2 + 4))*(d/dx √(x^2 + 4))
* dy/dx = (ln(x^2 + 4))*(d/dx ln(√(x^2 + 4))) =
= (ln(x^2 + 4))*(1/√(x^2 + 4))*(d/dx √(x^2 + 4)) =
= (ln(x^2 + 4)/√(x^2 + 4))*(d/dx √(x^2 + 4))
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c) u = (x^2 + 4)
d/dx √(x^2 + 4) = (1/(2*√u))*du/dx =
= (1/(2*√(x^2 + 4)))*(d/dx (x^2 + 4))
* dy/dx = (ln(x^2 + 4))*(d/dx ln(√(x^2 + 4))) =
= (ln(x^2 + 4)/√(x^2 + 4))*(1/(2*√(x^2 + 4)))*(d/dx (x^2 + 4)) =
= (ln(x^2 + 4)/(2*(x^2 + 4)))*(d/dx (x^2 + 4))
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d) d/dx (x^2 + 4) = 2*x
* dy/dx = (ln(x^2 + 4)/(2*(x^2 + 4)))*(d/dx (x^2 + 4)) =
= (ln(x^2 + 4)/(2*(x^2 + 4)))*(2*x) =
= x*ln(x^2 + 4)/(x^2 + 4)
che è proprio il risultato atteso, anche se scritto un po' meglio.
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CONTROPROVA nel paragrafo "Derivative" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=d%2Fdx+ln%5E2%28%E2%88%9A%28x%5E2--4%29%29