Derivate

$\textbf{a.}$

Il grafico mostra $f'(x)$, quindi immagino che la parola "derivata" si riferisca alla funzione $f'(x)$ e non a $f''(x)$. In quel caso, la derivata è positiva quando il grafico della funzione si trova al di sopra dell'asse delle ascisse, quindi in $(-4,-2)$ (che significa tutti i punti del grafico con ascissa compresa tra $-4$ e $-2$ estremi esclusi), e per $(2, +\infty)$ (l'infinito non si include mai negli estremi di un intervallo perché non è un numero propriamente parlando).

$\textbf{b.}$

La derivata è negativa nei punti del grafico che si trovano sotto l'asse $x$, quindi $x \in (-2,0) \cup (0,2)$, il simbolo $\cup$ indica l'unione, cioè entrambi gli intervalli, il risultato ottenuto in $\textbf{a.}$ può essere scritto come $x \in (-4,-2) \cup (2,+\infty)$.

$\textbf{c.}$

La derivata è nulla nei punti di intersezione con l'asse $x$, quindi per $x \in \{-4,-2,0,2\}$.

$\textbf{d.}$

Sappiamo che $x \in \{-4,-2,0,2\} \implies f'(x)=0$, mentre dal grafico vediamo che $f'(-3)$ è certamente positivo, mentre $f'(-1)$ è certamente negativo, quindi $f'(-1)<f'(-4),f'(-2),f'(0)<f'(-3)$.

a) derivata positiva, vuol dire funzione crescente;

f'(x) > 0;  (- 4; - 2);  (+2; + ∞);

b) derivata negativa, vuol dire funzione decrescente;

f'(x) < 0,  (-2, 0) ;  (0 + 2)

c)  derivata prima nulla, vuol dire che la f(x) ha un massimo o un minimo.

f'(x) = 0; x = - 4;  x = - 2;  x = 0;  x = + 2.

f'(-1) < 0; f'(-4) = 0; f'(-2) = 0; f'(0) = 0, f'(-3) > 0;

f'(-1) < f'(-4) < f'(-3).

@tkc ciao