Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
a.
$ f(x) = \sqrt{x+6} $
dimostriamo che f(x) è invertibile.
$ \sqrt{x_1+6} = \sqrt{x_2+6}$
$ x_1+6 = x_2+6 $
$ x_1 = x_2 $ Assurdo, abbiamo supposto fossero distinti.
In conclusione f(x) è bigettiva quindi invertibile.
$ f^{-1}(x) : [0, +∞) → [-6, +∞) $
b.
A questo punto possiamo determinare oltre alla derivata di f(x) anche l'inversa.
$ f(x) = \sqrt{x+6} \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+6}} $ inoltre
$ f^{-1}(x) = x^2-6 $
dalla formula di derivazione della funzione inversa
$ D(f^{-1}(x)) = \frac{1}{f'(g(x))} = \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x^2-6+6}}} = 2\sqrt{x^2} = 2x $
In effetti D(x^2-6) = 2x.
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Livello 6