DERIVATE

$\textbf{a.}$

Una funzione è pari quando $f(x)=f(-x)$ per ogni $x$ appartente al dominio naturale di $f$, mentre è dispari quando $f(x)=-f(-x)$, verifichiamo la parità delle funzioni:

$f(x)=\frac{x^4-3x^2}{2x}=f(-x)=\frac{(-x)^4-3(-x)^2}{2(-x)}$

$\frac{x^4-3x^2}{2x}=-\frac{x^4-3x^2}{2x}$

Che è vero solo quando $f(x)=0$, quindi $f(x)$ non è pari, abbiamo però dimostrato che è dispari, perché avevamo $f(x)=f(-x)$, quindi il secondo membro è $f(-x)$ la cui espressione analitica coincide con $-f(x)$, quindi $-f(x) = f(-x) \implies f(x)=-f(-x)$, quindi $f(x)$ è dispari.

$g(x)=2x^6-x^4 = g(-x)=2(-x)^6-(-x)^4$

$2x^6-x^4=2x^6-x^4$

che è vero per ogni $x \in \mathbb{R}$, quindi $g(x)=g(-x)$, allora $g(x)$ è pari.

$\textbf{b.}$

$f'(x)=\frac{3}{2}(x^2-1)$

$g'(x)=12x^5-4x^3$

$f'(x)$ è pari, infatti

$f'(x)=f'(-x)$

$\frac{3}{2}(x^2-1)=\frac{3}{2}((-x)^2-1)$

$x^2=x^2$ che è un'identità.

$g'(x)$ è dispari, infatti:

$g'(x)=-g'(-x)$

$12x^5-4x^3 = -(12(-x)^5-4(-x)^3)$

$12x^5-4x^3 = -(-12x^5+4x^3)$
$12x^5-4x^3=12x^5-4x^3$
che è un'altra identità.

$\textbf{c.}$

Sì, è vero che se una funzione è pari allora la sua derivata è dispari e viceversa. Per dimostrarlo basta applicare la regola di derivazione delle funzioni composte:

Supponiamo che $f(x)=f(-x)$

$g(x)=-x$

$f'(x)=f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)=f'(-x)\cdot(-1)=-f'(-x)$

$f'(x)=-f'(-x)$

Invece se $f(x)=-f(-x)$

$h(x)=-x$

$f'(x)=-f(h(x))'=-f'(h(x))h'(x)=-f'(-x)\cdot(-1)=f'(-x)$

$f'(x)=f'(-x)$.