ARGOMENTARE E DIMOSTRARE.
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Livello 2
Problema:
Sia $f(x)=\sin x + \cos x$. Determinare $f^{(2017)}(x)$, esplicitando, in modo chiaro ed esauriente, il procedimento seguito.
Soluzione:
Classico esercizio di algebra modulare.
Si nota che la derivata è un operatore lineare, quindi $f(x)=h(x)+g(x)$ ha derivata $f'(x)=h'(x)+g'(x)$.
Inoltre, la derivata del seno e quella del coseno sono cicliche, infatti:
$f(x)=\sin x \to f^{(1)}(x)=\cos x \to f^{(2)}(x)=-\sin x \to f^{(3)}(x)=-\cos x \to f^{(4)}(x)\equiv f(x)=\sin x$
$f(x)=\cos x \to f^{(1)}(x)=-\sin x \to f^{(2)}(x)=-\cos x \to f^{(3)}(x)=\sin x x \to f^{(4)}(x)\equiv f(x)=\cos x$
Bisogna dunque vedere quanti cicli compie il numero $2017$. Si ha che $\frac{2017}{4}=504$ con resto $1$, quindi $D^{2017} \sin x = \cos x$ e $D^{2017} \cos x = -\sin x$.
Si ha quindi che $f^{(2017)}(x)=\cos x -\sin x$.
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Livello 6