DERIVABILITA' DI UNA FUNZIONE

$\textbf{a.}$

Per dimostrare che la funzione è continua in $x=0$ è necessario dimostrare che $\lim_{x \to 0^-} f(x)= \lim_{x \to 0^+} f(x)$. Dobbiamo fare attenzione perché questa funzione a tratti è definita in maniera particolare, infatti dato che (per definizione) $f(0)=0$, entrambi i limiti devono tendere a $0$ (altrimenti avremmo una discontinuità da destra o da sinistra). Ma in questo caso possiamo evitare un lungo calcolo, dato che abbiamo la funzione $\sin(\frac{1}{x})$ questo ci permette di usare il teorema dei carabinieri (o teorema del confronto, ma dei carabinieri mi piace di più):

Sappiamo che:

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$  (perché $-1 \leq \sin(\theta) \leq 1$ per ogni $\theta$)

Moltiplichiamo tutti i membri per $x^2$

$-x^2 \leq x^2\sin(\frac{1}{x}) \leq x^2$

e ora calcoliamo il limite separatamente rispettando la disuguaglianza:

$\lim_{x \to 0} -x^2 \leq \lim_{x \to 0} x^2\sin(\frac{1}{x}) \leq \lim_{x \to 0} x^2$

$0 \leq \lim_{x \to 0} x^2\sin(\frac{1}{x}) \leq 0$

Allora $\lim_{x \to 0} x^2\sin(\frac{1}{x}) =0$ come volevasi dimostrare.

$\textbf{b.}$
Calcoliamo $f'(x)$ con la regola del prodotto:

$f'(x) = \begin{cases} 2x\cdot \sin(\frac{1}{x}) + \cos(\frac{1}{x}) \cdot  -\frac{1}{x^2} \cdot x^2 = 2x\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})\ se\ x \neq 0 \\ 0\  se\ x = 0 \end{cases}$

Adesso calcoliamo $\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} 2x\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$. Siano $g(x)= 2x\sin(\frac{1}{x})$ e $h(x)=\cos(\frac{1}{x})$, quindi $\lim_{x \to 0} f'(x)= \lim_{x \to 0} g'(x)-h'(x)$. Possiamo usare di nuovo il teorema dei carabinieri per verificare che $\lim_{x \to 0} g'(x)=0$, però $\lim_{x \to 0} \cos(\frac{1}{x})$ non esiste, intuitivamente puoi convincertene notando che per $x \to 0 \frac{1}{x} \to \pm \infty$, quindi la funzione inizia ad oscillare sempre più rapidamente tra $[-1,1]$, per questo non tende mai a un solo valore. Questo link ha un grafico animato che dimostra l'intuizione, ti basta cliccare su ▶ accanto ad $a$ per far partire l'animazione.

$\textbf{c.}$
Dalla definizione di $f'(x)$ abbiamo facilmente che $f'(0)=0$

$\textbf{d.}$

Dai risultati in $\textbf{b.}$ e $\textbf{c.}$ possiamo concludere che malgrado il limite della derivata per $x \to 0$ non esista, per la definizione della funzione possiamo calcolare la derivata comunque. Questo è uno dei rari casi in cui la derivata esiste nonostante il limite non esista.