DERIVABILITA' CON PARAMETRI

$ f(x) = \begin{cases} arctan(x-2) \quad \text{ x ≤ 2} \\ aln(x-1) + b - 2a \qquad \text{ x > 2} \end{cases}$

a. Continua in x = 2
$ f(2) = \begin{cases} arctan(0) = 0\quad \text{ x ≤ 2} \\ 0 + b - 2a \qquad \; \text{ x > 2}\end{cases} $

Per essere continua i due termini devono essere eguali quindi b = 2a

b. Derivabile in x = 2 

$ f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+(x-2)^2} \quad \text{ x ≤ 2} \\ a\frac{1}{x-1} \qquad \text{ x > 2} \end{cases}$

$ D^- f'(2) = 1 $
$ D^+ f'(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^+}y'(x)= a$

Per essere derivabile le derivabili laterali devono essere eguali, quindi a = 1, ne consegue che b = 2

La funzione continua e derivabile con i parametri definiti in precedenza è

$ f(x) = \begin{cases} arctan(x-2) \qquad \qquad \text{ x ≤ 2} \\ ln(x-1) + 2a - 2a \qquad \text{ x > 2} \end{cases}$
$ f(x) = \begin{cases} arctan(x-2) \qquad\qquad \text{ x ≤ 2} \\ ln(x-1) \qquad \qquad \text{ x > 2}\end{cases} $

mentre la derivata prima

$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+(x-2)^2} \quad \text{ x ≤ 2} \\ \frac{1}{x-1} \qquad \text{ x > 2} \end{cases}$

c. Retta tangente t: in x = 2

f(2) = 0
f'(2) = 1

$ t: y = f(2) +  f'(2)(x-2) = 1(x-2) \; ⇒ \; y = x-2$

d: Retta tangente s: in x = 3

f(3) = ln(2)
f'(3) = \frac{1}{2}

$ s:  y = f(3) + f'(3)(x-3) $

la retta tangente per x = 3 ha equazione 

$ s:  y = ln(2) + \frac{x}{2} - \frac{3}{2}$