Depurazione di una sostanza (crescita esponenziale)

 Si tratta di una funzione di decadimento esponenziale, una volta impostata la disequazione da verificare, bisogna applicare le proprietà per passare da una funzione esponenziale ad una logaritmica. Per una maggiore correttezza di risultato la n da considerare è 24, in quanto consideriamo soltanto numeri interi di passaggi da 15cm. A quel punto la dimensione della condotta deve essere maggiore di 3,6m

A) IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO PER APPROSSIMAZIONI PREMATURE.
------------------------------
B) Il filtraggio descritto in narrativa è un calo, non una crescita; la descrizione è centrata sulla percentuale d'impurità che cala, non su quella di sostanza depurata che cresce.
---------------
Perciò il modello matematico del processo descritto è
* p(x) = P*2^(- x/d)
dove
* x = ascissa lungo la condotta
* P = percentuale d'impurità all'imbocco (all'ascissa zero)
* p(x) = percentuale d'impurità all'ascissa x
* d = ascissa di dimezzamento, alla quale p = P/2
---------------
Se invece vuoi proprio un modello di crescita, allora
* s(x) = S*2^(x/D)
dove
* x = ascissa lungo la condotta
* S = percentuale di sostanza depurata all'imbocco (all'ascissa zero)
* s(x) = percentuale di sostanza depurata all'ascissa x
* D = ascissa di raddoppio, alla quale p = 2*P
------------------------------
Per finalizzare il modello
* p(x) = P*2^(- x/d)
si usano un dato implicito (P = 100) e uno implicito ("ogni passaggio di 15 cm della condotta riesca a rimuovere il 12 % di impurità") per porre la condizione d'appartenenza
* (100 - 12) = 100*2^(- (15/100)/d) ≡ d = ln(8)/(20*ln(25/22)) ~= 1451/1784 ~= 0.81334 m
da cui
* p(x) ~= 100*2^(- x/(ln(8)/(20*ln(25/22))))
------------------------------
"abbattere più del 95% di impurità" vuol dire p(x) < 5, cioè
* p(x) ~= 100*2^(- x/(ln(8)/(20*ln(25/22)))) < 5 ≡
≡ 2^(- x/(ln(8)/(20*ln(25/22)))) < 5/100 ≡
≡ log(2, 2^(- x/(ln(8)/(20*ln(25/22))))) < log(2, 1/20) ≡
≡ - x/(ln(8)/(20*ln(25/22))) < log(2, 1/20) ≡
≡ - x < (ln(8)/(20*ln(25/22)))*log(2, 1/20) = - ln(8000)/(20*ln(25/22)) ~= - 3.515 ≡
≡ x > ln(8000)/(20*ln(25/22)) ~= 3.515 m
che mostra quanto sia incongruo attendersi "[Risultato maggiore-uguale 3,6 metri]".

Numero tratti da 15 cm = x:

$\big(1-\frac{12}{100}\big)^x > \frac{(100-95)}{100}$

$0,88^x > 0,05$

$x > \frac{l_n(0.05)}{l_n(0.88)}$

$x > 23,43466528 → x= 24$ 

lunghezza della condotta $≥ 15×24 = 360~cm (= 3,6~m)$. 

0,88^n = > 0,05

n*ln 0,88  > ln 0,05 

n > ln 0,05 / ln 0,88 > 23,43 pezzi 

L = l*n = 0,15*24 = 3,60 m  

Detto n il numero di volte che si devono attraversare 15 cm risulta

n = 1 + [x] con [ ] parte intera

(1 - 12/100)^x < 1 - 0.95

0.88^x < 0.05

x > log(0.05)/log(0.88) = 23.43

L = 0.15*(1+]23.43]) = 3.60 m.