Data la seguente conica

Dal momento che il mio esame di Geometria Analitica risale alla primavera 1958, non è una sorpresa ritrovarmi fuori moda con la nomenclatura: in particolare non ho idea di cosa siano "classificazione affine" e "forma normale (metrica)".
Può essere che siano imparentate con la mia tassonomia e con le mie forme normali (standard, canonica, ...), ma può anche essere che no.
Ad ogni buon conto io ti mostro come faccio io, poi tu te ne ispiri per adattarlo ai moderni termini del tuo corso.
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CLASSIFICAZIONE COSTRUTTIVA (a posteriori)
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Dall'equazione data in forma normale canonica (polinomio = zero)
* Γ ≡ 2*x^2 + 2*x*y + 2*y^2 + 2*x - 2*y - 1 = 0 ≡
≡ p(x, y) = x^2 + x*y + y^2 + x - y - 1/2 = 0
si nota che il complesso dei termini di grado due
* x^2 + x*y + y^2 = (x + y)^2 - x*y
non è un quadrato di binomio: quindi Γ non è parabola.
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Il gradiente di p(x, y)
* nabla[p(x, y)] = (2*x + y + 1, x + 2*y - 1)
se s'azzera localizza il centro
* (2*x + y + 1 = 0) & (x + 2*y - 1 = 0) ≡ C(- 1, 1)
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La traslazione C → O dà luogo all'equazione
* Γ ≡ x^2 + x*y + y^2 - 3/2 = 0
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La generica rotazione
* (x = u*cos(θ) - v*sin(θ)) & (y = u*sin(θ) + v*cos(θ))
dà luogo all'equazione
* Γ ≡ (u*cos(θ) - v*sin(θ))^2 + (u*cos(θ) - v*sin(θ))*(u*sin(θ) + v*cos(θ)) + (u*sin(θ) + v*cos(θ))^2 - 3/2 = 0 ≡
≡ (2 + sin(2*θ))*u^2 + 2*cos(2*θ)*u*v + (2 - sin(2*θ))*v^2 - 3 = 0
dove si vede che il termine rettangolare s'azzera per
* (cos(2*θ) = 0) & (- π/2 <= θ <= π/2) ≡ θ = ± π/4
da cui
* Γ1 ≡ (2 + sin(- π/2))*u^2 + 2*cos(- π/2)*u*v + (2 - sin(- π/2))*v^2 - 3 = 0 ≡
≡ u^2 + 3*v^2 = 3 ≡ (u/√3)^2 + (v/1)^2 = 1
* Γ2 ≡ (2 + sin(π/2))*u^2 + 2*cos(π/2)*u*v + (2 - sin(π/2))*v^2 - 3 = 0 ≡
≡ 3*u^2 + v^2 = 3 ≡ (u/1)^2 + (v/√3)^2 = 1
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Dalle due possibili forme normali standard
* Γ1 ≡ (u/√3)^2 + (v/1)^2 = 1
* Γ2 ≡ (u/1)^2 + (v/√3)^2 = 1
si trae la CONCLUSIONE che la conica Γ è un'ellisse reale con:
* semiasse minore = 1
* semiasse maggiore = √3
* semidistanza focale c = √((√3)^2 - 1^2) = √2
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Nel riferimento Oxy originale di
* Γ ≡ p(x, y) = x^2 + x*y + y^2 + x - y - 1/2 = 0
le rette per il centro C(- 1, 1) con inclinazioni θ = ± π/4 (quindi con pendenze m = ± 1) sono
* y = 1 ± (x + 1)
cioè
* y = - x
* y = x + 2
e rappresentano gli assi di simmetria.
Le posizioni dei vertici si trovano come loro intersezioni con Γ.
Le posizioni dei fuochi si trovano come le loro intersezioni sull'asse maggiore con la circonferenza
* (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-y-x%29*%28-y%2Bx%2B2%29%3D0%2C%28x%5E2%2Bx*y%2By%5E2%2Bx-y-1%2F2%29*%28%28x%2B1%29%5E2%2B%28y-1%29%5E2-2%29%3D0%5D
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CLASSIFICAZIONE ALTERNATIVA (a priori)
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Dall'equazione completa della conica generica
* a*x^2 + 2*b*x*y + c*y^2 + 2*d*x + 2*e*y + f = 0
si formano gl'invarianti
* I1 = a + c
* I2 = a*c - b^2
* I3 = a*(c*f - e^2) - b*(b*f - d*e) + d*(b*e - c*d)
che nel caso
* Γ ≡ 2*x^2 + 2*x*y + 2*y^2 + 2*x - 2*y - 1 = 0
con i valori
* a = 2, b = 1, c = 2, d = 1, e = - 1, f = - 1,
diventano
* I1 = 4, I2 = 3, I3 = - 9
da cui
* I3 = - 9 != 0 → conica non degenere
* I2 = 3 > 0 → ellisse
* I1*I3 = - 36 < 0 → ellisse reale
OPINIONE PERSONALE
Si fa una quantità di moltiplicazioni giusto per sapere di che si tratta prima delle inevitabili operazioni di traslazione e rotazione; secondo me, non ne vale la pena.

PORCA MISERIACCIA ZOZZA, ma perché ci devo ricascare ogni volta?
Eppure lo so bene che il software di @sosmatematica presenta, fra gli altri, questo noiosissimo bug di mangiarsi i segni "+" nella memorizzazione dei link.
Il link a WolframAlpha che ho messo nella risposta NON FUNZIONA.
Abbi la pazienza di sostituirlo con quest'altro
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-x-2%29x%3D%282-y%29y%2C-x%5E2y-4xy-x-3y%5E3%3D-x%5E4-x%5E3y-3x%5E3-2x%5E2y%5E2-%283x%5E2%29%2F2-xy%5E3-xy%5E2-y%5E4-%283y%5E2%29%2F2-y%5D