Rivedendo le note del corso di Geometria I, ho notato che in un esercizio il professore ha utilizzato un metodo basato sui minori per passare dalla forma parametrica di uno spazio a quella cartesiana. Conosco il metodo, ma non ho mai avuto occasione di applicarlo in dimensione maggiore di 3. Vorrei quindi capire meglio come si scelgono in generale i minori da utilizzare per ottenere le equazioni cartesiane di uno spazio vettoriale a partire dalla sua rappresentazione parametrica? Mi sembra parecchio laborioso porre ogni minore necessario per avere tale rango uguale a zero. Al momento suppongo che basti utilizzare i minori formati vettori linearmente indipendenti associandoli agli altri vettori linearmente dipendenti.
(tralasciando l’esempio riportato sotto, in cui la presenza di molti zeri rende naturale porre $x_5=0$)
$\text{rk} \begin{pmatrix}
x_1-1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix} = 3
\to \begin{cases}
x_5 = 0 \\
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1
\end{cases}
PS: se conoscete altri metodi rapidi mi farebbe piacere conoscerli.
