Curve di livello

Ciao, 

Spero possano essere utili i seguenti allegati.

Nel tuo caso, la circonferenza è traslata nel pto (-1,0)

Deve risultare arcsin(k) >0 ossia 0<k=<1 affinché la circonferenza non sia degenere.

Se arcsin(k) =0 la circonferenza degenera in un punto. 

Se arcsin (k) < 0 l'equazione non ammette soluzioni. Il corrispondente insieme di livello è vuoto

 Ho dovuto un pó documentarmi perché non ero più fresco in materia. Spero possa servire 

IL METODO VA BENE, SULLE CONCLUSIONI AVANZEREI QUALCHE RISERVA.
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Per rappresentare le curve di livello della funzione f(x, y), cioè della superficie
* z = f(x, y)
il metodo è quello di determinare la curva di equazione
* z = f(x, y) - k = 0
per valori di k equispaziati fra il minimo e il massimo di z.
Solo se i valori di k sono equispaziati la distribuzione di densità sul piano Oxy delle loro curve fa meritare al grafico la qualifica di "linee di livello di f(x, y)"; se, come a volte accade in ambiti d'ingegneria, non si può o non conviene mantenere l'equispaziatura allora è d'obbligo marcare sul grafico ciascuna curva col valore di k che le compete.
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Per la superficie
* z = sin((x + 1)^2 + y^2)
minimo e massimo di z sono banali: ± 1, trattandosi di un seno.
L'argomento, (x + 1)^2 + y^2, è la distanza del punto cursore P(x, y) dal punto fisso C(- 1, 0), centro di tutte le circonferenze di raggio
* r(z) = √(arcsin(z)) <= √(arcsin(1))
che tuttavia NON SONO AFFATTO LINEE DI LIVELLO DI UN PARABOLOIDE DI ROTAZIONE in quanto "√(arcsin(z))" per un paraboloide varierebbe sulla semiretta r > 0, mentre qui varia sull'intervallo limitato (0, √(π/2)] in quanto
* r(0) = 0
* r(1) = √(π/2)

@alessandra_12

Ciao. Ad una domanda precisa, spero di rispondere il più precisamente possibile.

La funzione a cui fai riferimento è una funzione di due variabili:

z = SIN((x + 1)^2 + y^2)

Quindi è una funzione continua definita su tutto il piano cartesiano (x,y).

Però è una specie di lenzuolo o coperta che ondeggia fra i valori -1 ≤ z ≤ 1

Adesso ti chiedi: " come posso rappresentare le curve di livello per tale funzione?" Quindi, siccome devi determinare l'intersezione fra un piano orizzontale z=k, necessariamente -1 ≤ k ≤ 1.

Puoi procedere quindi a determinare alcune linee di livello conoscendo i valori notevoli della funzione SENO.

Siccome il seno è periodico con T=2*pi, devi pensare per il momento a far variare

α = (x + 1)^2 + y^2 tra 0 ≤ α ≤ 2·pi

Quindi, nel contempo ti trovi una famiglia di curve di livello: ad esempio

α = 0------->(x + 1)^2 + y^2=0---->z=K=0 trovi un punto P(-1,0)

α = pi/6---->(x + 1)^2 + y^2=pi/6---->z=k=1/2 trovi una circonferenza centrata in P e r=√(pi/6)

α = pi/4---->(x + 1)^2 + y^2=pi/4---->z=k=√2/2 analoga circonferenza più grande della precedente

α = pi/3----->(x + 1)^2 + y^2=pi/3--->z=k=√3/2  c.s.

α = pi/2----->(x + 1)^2 + y^2=pi/2--->z=k=1  c.s

Quindi ti allontani sempre più da P ed hai sempre circonferenze che rappresentano quote della tua funzione z sempre comprese fra i valori detti.